第5章狄拉克函数_846402212

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1、第五章狄拉克δ函数§5.1δ函数的定义与性质§5.2δ函数视为普通函数的弱收敛极限§5.3多维空间中的δ函数§5.4δ函数的广义傅里叶展开习题§5.1δ函数的定义与性质(1)δ函数的定义狄拉克δ函数的定义如下，同时也说明了它的性质和作用.⎧+∞,0x=(i)δ()x=⎨(5.1.1a)⎩0,x≠0∞∫δ()d1xx=(5.1.1b)−∞式(5.1.1b)有时也写成另一形式：b⎧1,0∈(,)ab∫δ()dxx=⎨(5.1.1c)a⎩0,0∉(,)ab∞(ii)∫f()()dxxxfδ=(0)(5.1.2)−∞∞(

2、iii)∫f()(xxxxfx′′′δ−=)d()(5.1.3)−∞在(i)和(ii)中，奇点是在x=0处.(iii)是奇点位于任意的x点上，是最一般的情况.(i)中可以看成是fx()1=的特例.式(5.1.1a)和(5.1.1b)狄拉克提出的δ函数的最原始的定义.按照原先的经典积分理论，δ()x既然只在一点x=0处不为零，就相当于一个零函数的定义，那么它在任意(有限或无限)区间上的积分应当为零，见(2.1.15)式.故式(5.1.1a)和(5.1.1b)是相互冲突的.这是因为，通常讲的广义零函数在孤立点上的取值

3、是有限的，而式(5.1.1a)表示在孤立点上取值是无限的.因而可以说，狄拉克δ函数并不是通常意义下的函数，无法用经典的方法对它进行代数分类和分析的运算.然而狄拉克δ函数确实能反映许多为经典函数不能反映的客观现象.例如只有一个电源和电容而无电阻的电路在由断开到接通时电流就表现出一个δ函数的行为.狄拉克δ函数还在以下一些事例中表现其物理意义.在一个没有体积的几何点上放置有限的质量或者电荷量；在传热过程中，在杆的某处(例如一端)的几何点上传入有限的热量；瞬时冲击力：在t=0的时刻一杆受到一冲击力，在时间长度为零的情况下

4、获得一个有限的冲量；等等.为了使实际中出现的奇异性得到合理的解释，并且能在实际应用中对其进行正确的运算，就必须拓展函数的概念.这就促成了广义函数的产生.(2)δ函数是一个广义函数首先，把δ函数看成是函数空间上的泛函.由上述定义式可以看出，δ函数只有在作用于某个函数的时候才真正体现出它的价值来.这实质上是一种泛函，我们前面已经定义了泛函的概念.现在定义连续函数空间Φ上的一个泛函δ如下.δ[()](0)ϕϕx=(5.1.4)这个泛函具有线性性质：δαϕ[()x+=+βϕ()]xxxαδϕ[()]βδϕ[()](5.1

5、.5)1212证明：δαϕ[()x+=+=+βϕ()]xxαϕ(0)βϕ(0)αδϕ[()]βδϕ[()]x.121212定义1如果某函数空间Φ上的泛函δ，具有线性性质(5.1.5)，则称δ为空间Φ上的线性泛函，空间Φ上的线性泛函又称为空间Φ上的广义函数.我们来考虑积分型的广义函数f.∞(,)fϕϕ=∫fxxx()()d(5.1.6)−∞其中f是一给定的函数，ϕ()x属于所考虑的函数空间Φ，这里还假定右端的积分存在.写成这个形式后，此时的(,)fϕ就与泛函f[()]ϕx具有完全相同的含义了.例如，((),())δ

6、xxϕϕ=(0)(5.1.7)这与(5.1.4)式是一样的.显然，由(5.1.6)定义的广义函数是具有(5.1.5)的线性性质的.因此，∞f[()](,)ϕϕϕxf==∫f()()dxxx.(5.1.8)−∞在(5.1.6)的定义中，右边f()x是一个函数而左边的f是一个泛函.不同的函数f()x给出不同的广义函数f.据此，我们可以把积分型的广义函数f与产生它的函数f()x本身视为同一，广义函数的概念就是在这个意义下把函数的概念推广了.或者说，在这个意义下，作为泛函的f()x也是一个广义函数.齐次，把δ函数看成是一

7、个广义函数.δ()x函数作为一个广义函数，它的特点是，本身又可以作为一个普通函数来定义，它的自变量与它的容许函数ϕ的自变量相同.在一维空间中，如(5.1.1a)式那样，尽管在原点处是不连续的，而且其值为无穷大.(3)δ函数的傅里叶变换和拉普拉斯变换除了在奇点x=0以外δ()0x=，因此，δ()x的行为几乎处处像一个普通函数.对于普通函数所做的一些运算也可以用于δ()x函数.例如，我们可以对δ()x函数作傅里叶变换.根据傅里叶变换的定义式，我们立即有∞−iωtF[()]δδtt==∫()ed1t(5.1.9)−∞因

8、此，1的傅里叶反变换就是δ()x函数.1∞−iωtδω()t=∫ed(5.1.10)2π−∞δ()x函数的拉普拉斯变换.对于这个变换要特别小心.定义式应该为∞−ptL[()]δδtt==()ed1t(5.1.12a)∫−0++或者，把δ()x函数看成是δδ()xx=−(0)∞++−ptL[()][(0)]δδtLt=−=−∫δ(0)ed1tt=(5.1.12b)0相应地，