Ch8_狄拉克δ函数

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1、第8章狄拉克函数δ1.源与场质点→→引力场，电荷→电场，热源温度场…数理方程的定解问题反映：hh场u(x,t)与产生这个场的源f(x',t)之间的关系。如：电学中，静电势u满足泊松方程2ρ——静电势和源(电荷)的关系∇u=−ε要求ρ激发的场u，可通过点电荷激发的场和叠加原理求得。2.点源：质点﹑点电荷﹑点热源﹑点光源等等hh点电荷激发的场：源点位于处，场点位于处r'rdd1场的数学表示：G(r,r′)=dd4πεr−r′3.连续分布的源所产生的场：无数个点源产生的场的叠加。注意：数理方程通常是线性的。已知源为点源时方程

2、的解，根据叠加原理求源头为连续分布时方程的解。8.1一维函数的定义和性质δ一、一维函数的定义δ通过点电荷电荷密度的计算，引入函数的定义。δ设：均匀带电细线，中心位于，长度：x0l，总电量：单位电荷1。⎧l0(x−x>)(1)0⎪⎪2线电荷密度η(x)=⎨1l⎪(x−x≤)(2)⎪l02⎩∞总电量Q=∫η(x)dx=1−∞当时，电荷分布可看作位于的单位点电l→0x=x0荷。此时⎧0(x≠x0)η(x)=⎨(3)∞(x=x)⎩0∞∫η(x)dx=1(4)−∞把定义在区间上，满足上述这两个要求的函(,)−∞+∞数称为函数，δ

3、并记作，即δ(x−x)0⎧0(x≠x)0δ(x−x0)=⎨(5)∞(x=x)⎩0∞δ(x−x)dx=1(6)∫0−∞根据(5)式，在x≠x0时，δ(x−x0)=0，所以(6)式左边的积分不需要在(,)−∞+∞的区间进行，而只需要在一个包含x=x0点在内的区间内进行，即b⎧1(ax)⎩00引入δ函数后，位于x0处、电量为q的点电荷的线电荷密度为：η(x)=qδ(x−x)0位于坐标原点，质量为m的质点的质量线密度为：η(x)=mδ(x−0)=mδ(x)说明：1.δ函数并

4、不是通常意义下的函数，而是广义函数：它没有给出函数与自变量之间的对应关系，仅给出⎧0(x≠0)δ(x)=⎨⎩∞(x=0)这在通常情况下没有意义。2.δ函数所给出的“函数值”只是在积分运算中才有意义。例：∞∫f(x)δ(x)dx=f(0)−∞二、函数的性质δ性质1：若f(x)是定义在区间(,)−∞+∞的任一连续函数，则+∞∫−∞fxxxdxfx()δ（−=00)()——将δ(x−x)乘上f(x)进行积分，其值为将f(x)的宗量换为x00或者说：δ函数具有挑选性(把f(x)在x=x0的值挑选出来)证明：设ε是任意小的正数，

5、则由于δ(x−x0)在x≠x0时为零，所以+∞x0+εf()xxxdδδ（（−=)xfxxxd()−)x∫∫−∞00x−ε0由积分中值定理有：∞()()()x0+ε()()fxδx−xdx=fξδx−xdxx−ε<ξ

6、即函数可以通过它在积分号下对任一连续函数δf(x)的运算性质来定义。性质2.（对称性）：δ(x−x)=δ(x−x)—δ函数是偶函数00证明：设f(x)为定义在(−∞,+∞)的连续函数，则+∞ξ=x0−x−∞f(x)δ(x−x)=f(x−ξ)δ(ξ)(−dξ)∫∫00−∞∞∞∞=f(x−ξ)δ(ξ)dξ=f(x)=f(x)δ(x−x)dx∫∫000−∞−∞⇒δ(x0−x)与δ(x−x0)在积分号下对任一连续函数f(x)的运算性质相同⇒δ(x0−x)=δ(x−x0)性质3.()δ()()δ()fxx−x0=fx0x−x0上

7、式的确切含义：在等式左右两边乘上任意连续函数ϕ(x)以后，对x积分相等∞∞ϕ(x)f(x)δ(x−x)dx=ϕ(x)f(x)δ(x−x)dx∫∫000−∞−∞证明：当x≠x时，等式两边均为零0当x=x0时，等式两边均为f(x0)δ(x−x0)性质4.xδ(x)=0证明：对任意的连续函数f(x)，均有：∞∞xδδ()()xfxdx=xfx()(0)x−=dx[()]xfx=0∫∫−∞−∞x=0连续函数f(x)的任意性得xδ(x)=0另一种证法：由性质3中令f(x)=x，则xδ(x−x)=xδ(x−x)000令x0=0，则

8、xδ(x)=0性质5：若为连续函数，且只有单根ϕ(x)ϕ(x)=0Nδ(x−x)，则kx(k=1,2?N)δ[ϕ(x)]=∑kk=1ϕ'(xk)证明：I.在含有第k个单根的区间内，xk(xk−ε,xk+ε)xk+ε计算积分。∫f(x)δ[ϕ(x)]dxxk−εb备忘：f(x)δ(x−x)dx=f(x)(a