关于狄拉克函数的定义

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1、南京林产工业学院学报一九八一年No.2JOURNALOFNANJINGTECHNOLOGICAL第二期COLLEGEOFFORESTPRODUCrs1981关于狄拉克函数的定义王友寄〈基础课部〉狄拉克函数。(x)，无论在物理中或广义函数中，都不对δ(0)进行ìE面的数量定义，只说是个无穷大，或用积分来回避之。我们认为，对ð(x)给于明确的定量定义是可能的，也是有益的。本文就是试图对δ(x)给予一种定量的定义，这样对δ(功的物理意义可以有较明确的解释，并可使δ(到这类函数的乘楼，有可能给出好的结果。

2、关于这个问题待有机会时再予以探讨。为了定义狄拉克函数，我们先对函数及导数的定义作一些扩充。一、函数的定义我们的讨论局限于一元函数。对数轴上的点，我们承认是可分的a例如，可分为左点x-，右点x+，等等。甚至于可一直分下去，但有次序。同时，我们承认无穷大可作为函数值。当然，这个无穷大是具体的，由下文定义。定义对两个变量x，y，君对白，盯上的每一点，都有一个或多个y的值与之对应，则称y是x在[a，盯上的一个函数。这里似乎与通常的多值函数相同，其实是不一样的。多值函数往往是可以看成几支单值函数的集合。而这

3、里是对一个点可有多值而不能分析成多支的单值函数。下面先'ihv窟义，，，、，.、x二三O'、PC，X、‘，，一-E、x~0-这里x=0时有e(0+)=1,e(0-)=Q。即有两个值。~l1Z-….函数的导数与微分-、定义y=f(x)在x=a点的微分{z5己(f(x)-f(a-))(df(a+)dy={=~tx~~(f(x)-f(a+)]ldf(a-)所以,.,‘xx甲L--xx'+AUAUXX+•4.AU'X-•一一，、，att定义y==f(x)的导数yF=pzdx狄拉克函数δ(X)的定义-、定义

4、_de(x)ô(x)一一画云→显然，由定义知当x~0时，8(x)=。当x=0时，由JUJUeccb，，‘、，，‘、AUAU+•、‘.，、.，==唱rEfti-AUctw，，.、AU、‘，，--咱EA.,...å(的=斗问。-)=二Lj南写之，为'8=-Ldx为x=0时的微分。Idxl总之".0X年oo(x):=:{1x==0lldxl这样，我们就可以吾出当x=0时，ô(x)是个怎样的无穷大了。-113一四、。(汩的一些性质我们用上注定义讨论一下δ(别的几个性质。性质1FEE--。。，，‘、x

5、、‘，，AUX唱,-•EAJ.积分区间包括0的任一区间，下同。证明对通常可积部分，我们引用一般的积分定义，例如黎曼积分。而对异常点，积分定义为撤分和。所以有=1x=o点这里的分子dx，由于积分的定义必为正的。性质2Jf(X)é)ωx=fω证明由f(x)éì(x):::f(O)o(x)即可推出。此f(x)不必如通常那样限制为连续函数。性质3ô(-x)==å(x)证明é)(x)与8(-x)当X斗O时都等于0，所以只要证明ö(-o)=0(0)即可而δ(-0)=二L!=-L!=δ(0)Id(-x)I:x=

6、0IdxlIx:::0•由此知狄拉克函数是偶函数。性质4x8(x-xo)=xoo(x-Xo)性质s~å(x-Xl)ö(ψ(x)J:::艺工一一一Xl为"功的根且都为单根。~IφI(xt)I......114一恒明

7、φ'(x)dxl,qJ(x)年O.$q口(x)==0

8、φ'(x)IldxlEZS(x-xi>lq口I(Xj)性质eô(x)

9、年O~{1':;'X=0ð(x)-有「性质7IXlô(x2):::告ð(x)证明。X斗。'1X!ô(x')~{击-l「x=0ox~021X=0xlldxlX斗o=<1x=0Zldxl=去ö(x)一115..;，..这里用到的完全相同的o可以约分，因这时宫是作为函数的自变量，所以它不是绝对的00必要是x=0可理解为dx。性原8xö'(x)=~ö()L)证明首先我们理解X斗。dxx=0而oX年ox=0-.,.-ð(x)x=0+..X斗。x=O.xö'(x)=

10、;:0x=0=,.-ö(x)性质9x=xof'(x)=f'(x)x~xoh=f(xó)-f(xõ)证明x=χ:由x=xõX年Xohdxx=xòf得x=xõ一百五一=-dxdyjdxx=xohx='xo'(x)x~XoX=.xo=CCx.>x=xo‘~t16~性质10xn8(阻)(x)=(-1)D.nI8(x)证明由性质8知x8'(x)=-c5(x)即当n=1时成立，说n::oK时成立xl<ð(1<)(x)=(-1)1