2高考中抽象函数的考查

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1、高考中抽象函数的考查我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数.抽象函数可以全面考察学生对函数概念和性质的理解，抽象函数又可以将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身，考查学生综合运用知识的能力，所以高考中经常出现.一、求抽象函数的函数值例1函数对于任意实数满足条件，若，则.答案：.例2已知定义在R上的奇函数满足，则的值为()A．-1B.0C.1D.2答案：B二、求抽象函数的定义域例3已知函数的定义域是，则函数的定义域是.答案：例4已知函数的定义域是，则函数的定义域是.答案：三

2、、与抽象函数有关的方程解的个数例5定义在Ｒ上的函数既是奇函数，又是周期函数，Ｔ是它的一个正周期，若将方程在闭区间上的根的个数记为ｎ，则ｎ可能是（）Ａ．０Ｂ．１Ｃ．３Ｄ．５解：由函数既是奇函数，得；由Ｔ是函数的一个正周期，得；由函数既是奇函数，得，综上，函数有五个零点，方程在闭区间上的根的个数为5.故选Ｄ.例６设函数在上满足，，且在闭区间上，只有（I）试判断函数的奇偶性；（II）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论．解：（I）当时，由，得，又在闭区间上，只有，所以；于是不是奇函数.，而，，

3、所以不是偶函数.（II）802个解.四、抽象函数的图像（增减性，对称性）例7设是定义在上周期为6的函数，在（0，3）上单调递减，且的图像关于对称，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．答案：B.五、综合考查函数的性质（单调性，周期性，对称性，奇偶性等）例8设函数对于任意的，都有，且时，，.(1)求证：是奇函数；(2)在时，是否有最值，如果有，求出最值；如果没有，说明理由.证明：(1)令，得令，得，所以，，是奇函数.(2)令，则，.,故在[-3,3]上单调递减.为最大值，为最小值.即最大值6，最小

4、值-6.例9已知是定义在区间上的奇函数，且，若，有成立.(1)判断在区间上是增函数还是减函数？并证明.（2）解不等式.解：(1)令，，则，，所以，.是定义在区间上的奇函数,,在区间上是增函数.(2)解得.例10已知定义在R上的函数满足条件:①对任意实数都有；②对所有非零实数，都有.（1）求证：对任意实数，；（2）求函数的解析式；（3）设，直线分别与函数相交于两点.设（表示两点间的距离），为数列的前n项和，求证：.10.(09年天津第10题)设函数f(x)在R上的导函数为f’(x),且2f(x)+

5、xf’(x)>x,x下面的不等式在R内恒成立的是()A．B.C.D.【考点解析】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用.通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力.【解析】由已知，首先令，排除B，D.然后结合已知条件排除C,得到A.下面说明C不正确：取则2f(x)+xf’(x)=，而不恒成立，故排除C.以下证明答案为A：证明(10届尹豪)：假设存在，使.(1)若,由，且在R上可导，所以必存在数b,,使得，，取则，这与2f(b)+bf’(b)>b>0矛盾，故不成立.(2)若，同理存在，使

6、得，，，这与2f(b)+bf’(b)>b>0矛盾，故不成立.综上，对【答案】A.