系统函数与频率响应特性

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1、第5章系统函数与频率响应特性前几章，我们分别从时域、频域、复频域（s域）就信号与线性时不变系统的基本特性进行了分析，其目的是为了探求信号经系统传输与处理的基本规律，解决各种激励信号施加于系统后其响应的一般问题。本章我们将引进系统函数的概念，可将这种研究进—步深入。通过本章的学习，将使我们对系统分析的问题有更深入的理解，也为今后学习系统综合、设计打下基础。5.1系统函数与冲激响应5．1．1系统函数酌定义设系统的n阶微分方程为()nn(1)−(1)aytay()+++()t"aytayt()()=nn−110()mm(1)−(1)bxtbx()++()t"+bxtbxt()+()（5

2、-1）mm−110()k−()k−若系统的各起始状态为零，即y(0)=0，且激励信号x()t为因果信号，即x(0)=0，对上式两边取拉氏变换可求出系统的零状态响应的拉氏变换mm−1bs++bs"+bsb+mm−110Ys()=Xs()（5-2）zsnn−1as++as"+asa+nn−110我们将零状态响应的拉氏变换与激励信号的拉氏变换之比称为系统函数(systemfunction）或网络函数(networkfunction)，记为H(s)，即mm−1Ysbsbs()+++"bsbB()szsmm−110Hs()===（5-3）nn−1X()sasas+++"asaA()snn−

3、110式中，B()s和A()s分别是Hs()的分子多项式和分母多项式。为了书写方便起见，一般省略Ys()zs中的下标，即Y(s)H(s)=（5-4）X(s)在零状态条件下，元件的s域模型中，描述动态元件（L、C）起始状态的电压源或电流源将不存在，这时网络的s域模型与原电路形式相同，按照网络的s域模型，运用电路分析的方法，可直接求得系统函数Hs()，而不必列写该系统的微分方程。例如在例4-16中的RL电路，其系统函数为1Is()1LHs()===（5-5）Xs()RsL+Rs+L在网络分析中，由于激励与响应既可以是电压，也可能是电流，因此网络函数可以是阻抗204（电压比电流），或为

4、导纳（电流比电压），也可以是数值比（电流比或电压比）。此外，若激励与响应是同一端口，则网络函数叫做“策动点函数(drivingfunction)”或“驱动点函数”，如图5–l（a）中的Vs()与I()s；若激励与响应不在同一端口，就叫做“转移函数(transferiifunction)”或“传输函数”，如图5–1（b）中的Vs()[或I()s]与Vs()[或I()s]。显然，策动iijj点函数只可能是阻抗和导纳；而转移函数可以是阻抗、导纳或比值。例如式(5-5)，它是策动点导纳函数。在一般的系统分析中，对于这些名称往往不加区分，统称为系统函数或网络函数。Ii()sIi()sVs(

5、)系统Vsi()系统Isj()Vsj()i（a）（b）图5–1策动点函数与转移函数5．1．2系统函数Hs()与冲激响应ht()的关系引入系统函数概念以后，根据式(5-4)，零状态响应的拉氏变换可以写成YsHsXs()=()()（5-5）zs我们知道，系统的激励为单位冲激函数δ()t时，其零状态响应称为冲激响应ht()。此时Xs()==L[()]1δt，故由式(5-6)可得系统的冲激响应−1ht()=L[()]Hs（5-6）或L[()]ht=Hs()（5-7）上式说明，系统函数Hs()是冲激响应ht()的拉氏变换，也就是说，Hs()与ht()之间是一对拉氏变换。这样，在求冲激响应h

6、t()时，只需取Hs()的逆变换即可获得，这一步常常是较为简便的。对式(5-6)两边取拉氏逆变换，并利用时域卷积定理，得−−11ys()==LL[()]Ys[()()]HsXs=zszs−−11LL[()]Hs∗=[()]Xshtxt()*()（5-8）这正是2.4节中所得出的结论：系统的零状态响应是冲激响应ht()与激励信号x()t的卷积积分。这一重要结论在s域的对应关系是：零状态响应的拉氏变换Ys()等于系统函数Hs()与激励信zs号的拉氏变换X()s的乘积。换句话说，ht()和Hs()分别从时域和复频域两个方面表征了同一系统的特性。5．1．3系统函数的求法由上述讨论可知，系

7、统函数可以由零状态下系统的微分方程经过拉氏变换求得，或由系统冲激响应的拉氏变换求得。对于具体的电路，系统函数还可以用零状态下的s域模型（实际上205它与原电路图形式相同，只是把x()t、yt()，改为X()s、Ys()即可）应用电路的分析方法求得。下面分别举例说明。例5–1已知系统的微分方程为：2d()d()ytyt++=32()ytx()t2ddtt求系统函数Hs()。解1）将给定系统的微分方程在零状态下两边取拉氏变换，得2(ssY++32)()sX=()sYs()1则Hs()