§7.1系统函数与系统特性

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1、第七章系统函数§7.1系统函数与系统特性系统函数的零、极点分布图系统函数H(·)与系统的因果性系统函数与时域响应系统函数与频率响应一、系统函数的零、极点分布图LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即A(·)=0的根p1，p2，···，pn称为系统函数H(·)的极点；B(·)=0的根1，2，···，m称为系统函数H(·)的零点。将零极点画在复平面上得零、极点分布图。例：例：已知H(s)的零、极点分布图如图所示，并且h(0+)=2。求H(s)的表达式。解：由分布图可得根据初值定理，有二、系统函数H(·)与系统的因果性因果系统是指，系统的零状态响应yzs(·)不会出现于f(·

2、)之前的系统。连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应h(t)=0,t<0或者，系统函数H(s)的收敛域为：Re[s]>σ0离散因果系统的充分必要条件是：单位响应h(k)=0,k<0或者，系统函数H(z)的收敛域为：

3、z

4、>ρ0三、系统函数H(·)与时域响应h(·)冲激响应或单位序列响应的函数形式由H(·)的极点确定。下面讨论H(·)极点的位置与其时域响应的函数形式。所讨论系统均为因果系统。1．连续因果系统H(s)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。（1）在左半平面若系统函数有负实单极点p=–(>0)，则A(s)中有因子(s+)，其所对应的响应函数

5、为Ke–tε(t)(b)若有一对共轭复极点p1,2=–±jβ，则A(s)中有因子[(s+)2+β2]→Ke–tcos(βt+θ)ε(t)(c)若有r重极点，则A(s)中有因子(s+)r或[(s+)2+β2]r，其响应为Kitie–tε(t)或Kitie–tcos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,···,r–1)以上三种情况：当t→∞时，响应均趋于0。暂态分量。（2）在虚轴上(a)单极点p=0或p1,2=±jβ，则响应为Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)——稳态分量(b)r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r，其响应函数为Kitiε(t)或Kitic

6、os(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,···,r–1)——递增函数（3）在右半开平面：均为递增函数。结论LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。(1)H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当t→∞时，响应均趋于0。(2)H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。(3)H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。即当t→∞时，响应均趋于∞。2．离散因果系统H(z)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆内、在单位圆上和在单位圆外三类。根据z平面与s平面的映射关系，得结论：(1)H(z)在单位圆内的极点所对

7、应的响应序列为衰减的。即当k→∞时，响应均趋于0。(2)H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。(3)H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应序列都是递增的。即当k→∞时，响应均趋于∞。四、系统函数与频率响应1.连续系统若系统函数H(s)的收敛域包含虚轴（对于因果系统，H(s)的极点均在左半平面），则系统存在频率响应，频率响应与系统函数之间的关系为H(jω)=H(s)

8、s=jω下面介绍两种常见的系统。（1）全通函数若系统的幅频响应

9、H(jω)

10、为常数，则称为全通系统，其相应的H(s)称为全通函数。凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，并且所有零

11、点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数即为全通函数。（2）最小相移函数对于具有相同幅频特性的系统函数而言，右半开平面没有零点的系统函数称为最小相移函数。2.离散系统若系统函数H(z)的收敛域包含单位圆（对于因果系统，H(z)的极点均在单位圆内），则系统存在频率响应，频率响应与系统函数之间的关系为H(ejθ)=H(z)

12、z=ejθ，式中θ=ωTs，ω为角频率，Ts为取样周期。举例例：某离散系统的系统函数(1)若系统为因果系统，求单位序列响应h(k);(2)若系统为反因果系统，求单位序列响应h(k);(3)若系统存在频率响应，求单位序列响应h(k)。解:(1)

13、z

14、>3，h(k)=[(

15、–0.5)k+3k](k)(2)

16、z

17、<0.5，h(k)=[–(–0.5)k–3k](–k–1)(3)0.5<

18、z

19、<3，h(k)=(–0.5)k(k)–3k(–k–1)§7.2系统的稳定性一、稳定系统的定义一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(BoundInputBoundOutput——BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系统对所有的激励

20、f(·)

21、≤Mf，其零状态响应

22、yzs(·)

23、≤My