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《时域内有限元离散方法的探讨》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、//第卷第期工程力学−.,∃./!∀!年∀月#∃%&∃##∋&∃%(#)∗+∃&),+01!∀!时域内有限元离散方法的探讨赵振峰刘迎曦2大连理工大学工程力学研究所3摘要本文提出一种在时域内进行有限元离散的方法。以振动方程为例,详细阐述了这种方法的基本思想,并对计算过程的稳定性进行了讨论,给出一种新的积分格式和若干数值算例。,,4关键词有限元法逐步积分波动方程月56胃有限元法在各类静力问题中,已经得到了广泛的应用,但对时域内问题,人们则更偏爱有限差分法。对于波动方程之类混合问题,一般用有限元进行空间离散,而时域则采用振型叠、。,。虽然监凯维奇等人在用加逐
2、步积分等方法来处理各种逐步积分的格式多来源于差分法有限元法解初值问题上作过尝试〔”,并得出了一些很有意义的结果,但有局限性。由于采用的是标准的加权残数法,就使得积分格式的推导比较繁琐,而且所设插值多项式的阶次必须得高于方程中时间导数的阶次,这显然同空间有限元的情况不协调,从而无法进行空间和时间有限元的误差匹配。本文试图从一个新的角度来重新探讨这个问题。,,显示文中以单自由度振动为例详细阐述了有限元法在时域内建立离散格式的基本思想出该方法具有许多鲜为人知的优点。,,如纽马克法、同时说明人们熟悉的一些差分格式线性加速度法、中心差分法等等,只是有限元法中线性元的不同
3、形式,但有限元法的推导更为简单。由于采用了同一离散手段,将便于。进行空间和时间的离散误差匹配文中对有限元法的稳,。,定性也进行了讨论给出了一个判别准则最后将有限元的思想推广到空间多自由度问题的求解,给出了一个高精度的、无条件稳定的直接积分格式。文中并给出了若干计算实例。二、新方法的基本思想,以下面的常微分方程为例4为了便于说明本文于!∀∀年月收到工程第卷汀7.,:9<2=30839/20;2>3、2.3一,?舀在所要求的时间内划分若干个相等的单元,在每个单元内对上式加权积分,有247。>·3·、=一<2≅3ΑΒ≅2/>3丁丁>,,。0Α如果设一个含有待定系
4、数的函数并取权为不同的形式则是传统的加权残数法,。“显然这里的必须取二次以上多项式,,/,为了能同空间有限元的形式统一起来取、二叔对式2>>3进行分步积分则有Δ’一‘,Β≅一0≅7。一,0。一,。0/丁Χ⋯丁3<2≅3咨Β‘咨一泛咨2>3,。,。“一这样的插值阶次要求可以降低到线性显然这种作法更能体现有限元的优点在一个单元内,设0满足Ε,40二&∃∃∃ΦΓ2>‘Η3?:/」,4,,,,,,。其中∃Ι∃为形函数0Ι0Φ为单元节点值4为单元内部自由度数目不限凡//,。,丁不难得到有4将式2>Η3代人式2>3提出可Χ限元离散方程组()∗+∗+∗+∗+∋)∗+
5、###一,、&,%∀!∃!!∀刃门2>/ϑ3,。可以求出,−‘由上式的前两行二崎,这时‘和已知.,然后由第三行可以求出代反复「#/#/〕,’‘运用式,!0.即可得到各个时刻的−和成值。当然,它要求1一一)满,但这个条件是容秩#!!#!∀(」易满足的。按本节提出的方法,保留了差分法递推格式的长处,而与常规的加权残数法相比,至少有,2两个优点降低了对插值多项式的阶次要求同空间有限元的离散手段是一致的递推过程是,,。−和扮的求得仅用到上一步的值单步的无需更多的存贮三、几种离散格式的推导,,,。仍以式,!).为例介绍几个离散格式的推导过程为简单起见令3,4.
6、一5∃线性元。不考虑内部自由度!0.成为,几月司丸9(##−·一”!3且∃,∀∃.一。−78)6十第期时域内有限元离散方法的探讨从而有递推公式/0/<0二2反一Κ3ΛΚ“争‘、“‘”ΜΔΔΔ2/>3/Δ气乙,一一了、“一八:八十5之刀5月十5,。>可以“出““Ν“6了·仔“分析一下“2/3,翩对的要求是不一样的前者要Μ孙4,,。,。‘。而后者的4‘只要有界根据多变量有限元法的思想ΟΠ可以分别插值求满足连续,「·,···,“线性元中丁‘6斤ΒΝ卜白勺必须”线性插值而丁占Β才中的无论取线性或常”都不“降。以下,,可以得到刀6。低精度要求采用不同
7、的决择个常见的格式253均取线性插值一线性加速度法‘/‘‘留,/=6、声,。7。,·夕厂,,一Θ一八6/≅5刀门△一‘从而2‘3式护的0,,。,5设一一57≅5一5卜Χ十△。;Δ;Κ&9土Κ十一△2/3乙丝△可以证明,这种格式等同于线性加速度法。2>3分别取为线性插值和常数一中心差分法,·,·Π设白”线性插值同上而占一5中“勺·取作常数4Χ。、=Ρ,、,十5:合:一△一>。十≅Ρ<延≅/△田5二二于/则有Κ一2Η3Ν△这种格式等同于中心差分法。一般都认为中心差分法需要保留前两步的值,其实是不必要23另一种常数插值一纽马克法一二勺5。。、Θ,007
8、03令2>3中的常数取作一2则Κ一ΚΔ
