时域离散信号和时域离散系统(I)

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1、第一章时域离散信号和时域离散系统第一节学习目标掌握序列的概念及其几种典型序列的定义，掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性；掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/稳定性判断的充要条件；理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应；了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。x(n)代表第n个序列值，在数值上等于信号的采样值x(n)只在n为整数时才有意义一、离散时间信号—序列序列：对模拟信号进行等间隔采样，采样间隔为T，得到n取整数。对于不同的n值，是一个有序的数

2、字序列：该数字序列就是离散时间信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔，形成x(n)信号，称为序列。1、序列的运算移位翻褶和积累加差分时间尺度变换卷积和1）移位序列x(n)，当m>0时x(n-m)：延时/右移m位x(n+m)：超前/左移m位2）翻褶x(-n)：是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶3）和同序列号n的序列值逐项对应相加4）积同序号n的序列值逐项对应相乘5）累加6）差分前向差分：后向差分：7）时间尺度变换：压缩、抽取：伸展、插值8）卷积和设两序列x(n)、h(n)，

3、则其卷积和定义为：1）翻褶：2）移位：3）相乘：4）相加：举例说明卷积过程卷积和与两序列的前后次序无关2、几种典型序列1）单位抽样序列2）单位阶跃序列与单位抽样序列的关系：3）矩形序列与其他序列的关系：4）实指数序列为实数5）复指数序列为数字域频率例：6）正弦序列模拟正弦信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率7）任意序列x(n)可以表示成单位取样序列的移位加权和，也可表示成与单位取样序列的卷积和。例：3、序列的周期性若对所有n存在一个最小的正整数N，满足则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。例：因此，x(n)是周期为8的周期序列讨论一

4、般正弦序列的周期性分情况讨论1）当为整数时2）当为有理数时3）当为无理数时例：判断是否是周期序列？讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号的周期T0之间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？设连续正弦信号：抽样序列：当：为整数或有理数时，x(n)为周期序列如果：f=2f0,w0=π;f=f0,w0=2π令：例：N，k为互为素数的正整数即N个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期4、序列的能量定义为：序列各抽样值的平方和二、线性移不变系统一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。离散时间系统T[·]

5、x(n)y(n)1、线性系统若系统满足叠加原理：或同时满足：可加性：比例性/齐次性：其中：则：此系统为线性系统。例：证明由线性方程表示的系统是非线性系统。扩充：增量线性系统线性系统x(n)y0(n)y(n)2、移不变系统定义：若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不变系统（或时不变系统）。例：试判断是否是移不变系统？线性移不变系统：同时具有线性和移不变性的离散时间系统。LSI：LinearShiftInvariant3、单位抽样响应与卷积和单位抽样响应h(n)是指输入为单位抽样序列时的系统输出：T[·]对LSI系统，讨论对任意输入的系统输出T

6、[·]x(n)y(n)结论：一个LSI系统可以用单位抽样响应h(n)来表征，任意输入的系统输出等于输入序列和该单位抽样响应h(n)的卷积和。LSIh(n)x(n)y(n)思考:当x(n)的非零区间为[N1,N2]，h(n)的非零区间为[M1,M2]时，求解系统的输出y(n)又如何分段？结论：若有限长序列x(n)的长度为N，h(n)的长度为M，则其卷积和的长度L为：L=N+M-14、LSI系统的性质交换律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)结合律h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)

7、x(n)y(n)分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)5、因果系统定义：若系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。LSI系统是因果系统的充要条件：6、稳定系统定义：稳定系统是有界输入产生有界输出的系统。若：LSI系统是稳定系统的充要条件：则：例：某LSI系统，其单位抽样响应为试讨论其是否是因果的、稳定的。结论：因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果的，且是绝对可和的，即§1.4线性常系数差分方程只描述或者研究系统输出和输入之间的关系，这种

8、方法称为输入输出描述法。模拟系统常系数微分方程离散系统常系数差分方程1.4.1线性常系数差分方程一个N阶常系数线性差分方程