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1、第一章时域离散信号和时域离散系统1.1引言1.2时域离散信号表示法与典型序列1.3数字信号处理中的基本运算1.4时域离散系统1.5线性常系数差分方程习题1.1引言假设模拟信号是一个正弦波，表示为xa(t)=0.9sin(50πt)，波形如图1.1.1(a)所示图1.1.1模拟信号和时域离散信号1.2时域离散信号表示法与典型序列假设模拟信号用xa(t)表示，它的波形用图1.2.1(a)表示。按照时间T等间隔地对xa(t)取它的幅度值，或者说按照时间T等间隔地对xa(t)采样，得到一串有序的数据
2、{xa(0),xa(T),xa(2T),…}，波形图如图1.2.1(b)所示。当n取{0,1,2，…}时，xa(nT)={xa(0),xa(T),xa(2T),…}，现在将这一串数字序列用x(n)表示，如图1.2.1(c)所示。时域离散信号x(n)和模拟信号xa(t)之间的关系用下式表示：x(n)=xa(nT)=xa(t)
3、t=nT-∞＜n＜∞(1.2.1)图1.2.1由模拟信号产生时域离散信号例1.2.1假设模拟信号xa(t)=sin(2π·50t)+sin(2π·100t)，令fs=1/T
4、，T=0.0025s，fs=400Hz，这里T称为采样间隔，fs称为采样频率。要求用fs对该模拟信号进行采样，得到时域离散信号x(n)，试写出x(n)的表达式，并画出它的波形图。解按照(1.2.1)式，该例题中序列表达式为x(n)=xa(nT)=xa(t)
5、t=nT=sin(2π·50·nT)+sin(2π·100·nT)将T=0.0025s代入上式，得到：x(n)=sin(2π·50·0.0025n)+sin(2π·100·0.0025n)=sin(0.25πn)+sin(0.5πn)画出
6、它的波形如图1.2.2所示。图1.2.2例1.2.1图1.2.1序列的表示方法一个具体的序列可以有三种表示方法。1.用集合符号表示序列对于数的集合，可用集合符号{·}表示，时域离散信号是一个有序的数的集合，可用集合表示。例如当n={…,0，1，2，…}时，x(n)={…,0.12,0.15,0.18,…}，就是用集合符号表示的时域离散信号。2.用公式表示序列例如：x(n)=a
7、n
8、0＜a＜13.用图表示这是一种很直观的表示方法，例如图1.2.2所示的就是一个时域离散信号。1.2.2常用的典
9、型序列1.单位采样序列δ(n)(1.2.2)单位采样序列如图1.2.3所示。图1.2.3单位采样序列2.单位阶跃序列u(n)(1.2.3)单位阶跃序列如图1.2.4所示。图1.2.4单位阶跃序列u(n)可以用单位采样序列表示，公式如下：(1.2.4)如果上式中n<0，求和号中的每一项的n-m取值均为负值，因此u(n)=0。如果n≥0，上式中的m=n项，即δ(n-m)=1，例如n=2，上式则为3.矩形序列RN(n)10≤n≤N-10其他上式中的下标N称为矩形序列的长度。例
10、如,当N=4时，矩形序列R4(n)如图1.2.5所示。RN(n)=(1.2.5)图1.2.5矩形序列4.实指数序列x(n)=anu(n)式中a取实数，u(n)起着使x(n)在n<0时幅度值为0的作用。a的大小直接影响序列波形。如果01，幅度值则随着n的加大而增大，波形如图1.2.6(b)所示。图1.2.6实指数序列5.正弦序列与复指数序列假设模拟信号是一个正弦序列xa(t)=Asin(Ωt+θ)，对它
11、以等间隔T进行采样，得到时域离散信号x(n)，x(n)=Asin(ΩnT+θ)令ω=ΩT(1.2.6)得到：x(n)=Asin(ωn+θ)(1.2.7)相应地，还有余弦序列，用下式描述：x(n)=Acos(ωn+θ)式中ω也是数字频率。复指数序列用下式描述：x(n)=ejωn可以按照欧拉公式展开，表示成下式:x(n)=cos(ωn)+jsin(ωn)式中ω仍然称为数字频率。由于正弦序列和复指数序列中的n只能取整数，因此下面公式成立：ej(ω+2πM)n=ejωncos［(ω+2πM
12、)n］=cos(ωn)sin［(ω+2πM)n］=sin(ωn)6.周期序列如果序列满足下式，则称为周期序列:x(n)=x(n+N)-∞＜n＜∞(1.2.8)很显然，满足上式的N有很多个，周期序列的周期则规定为满足上式的最小的N值。例如图1.2.7中的x(n)是一个周期序列，满足上式的N有4,8,12,…，它的周期为4。图1.2.7周期序列答案是不一定，如果是周期序列，则要求正弦序列的频率满足一定条件。设x(n)=Asin(ωn+φ)(1
