幂保持加法映射

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1、维普资讯http://www.cqvip.comiSJ33卷第1期数学进展Vo1．33．NO．12004年2月ADVANCESINMATHEMATICSFeb．．2oo4幂保持加法映射曹重光，张显(黑龙江大学数学系，哈尔滨，黑龙江，150080)摘要：本文得到了域上n×n矩阵代数的幂保持加法映射的刻画，同时刻画了对称矩阵的幂保持加法映射．关键词：域；幂保持；加法映射MR(1991)主题分类：15A04；15A33／中图分类号：O152文献标识码：A文章编号：1000-0917(2004)01．0103-07线性保持问题是国际上矩阵论研究中相当活跃的领域(见[t

2、-31)．近年来一些作者用加法映射代替线性映射，研究加法保持问题主要的工作涉及到秩1保持【，5】，谱保持【6J)，幂等保持及广义逆保持【7，引．本文研究矩阵幂的加法保持，所得结果使相应线性保持的结果【。】成为特例．[9]所使用的方法是将其归结为秩1保持．本文方法是将其归结为幂等保持．这进一步说明了幂等保持具有一定的核心地位【引．设k是一个固定的大于1的正整数，F是一个域，本文假定chF>k或chF=0．又设M(F)及(F)分别为F上n阶全矩阵代数及对称矩阵代数，GL(F)为n阶一般线性群．(F)到自身的映射，，如果满足f(A+B)兰f(A)+，(B)，VA，B

3、∈Ms(F)，则称，为^(F)的加法映射．如果，又满足，(A)=f(A)，VA∈Ms(F)，则称，为保k次幂的加法映射．所有这样映射的集合记为r．相应的我们记r1为(F)的保k次幂的加法映射集合．本文中E记F上(，J)位置是1，其余位置是0的n阶阵，Dij记EJ+易，Is记n阶单位阵．又我们用[1，n】记集合{1，2，⋯，n)．又如果A，B∈(F)且AB=BA：0则称A与B正交．矩阵A∈^(F)若满足A：A，则称A为k幂阵．引理1设A1，⋯，A是(F)中彼此正交的t个k幂阵．，(i)若t>佗，则存在J∈[1，t】使得Aj=0．，(ii)若t=n且A1，⋯，A均

4、非零，则存在P∈GL(F)，使得PAIP=Eii，Vi∈【1，叫，其中c{k_。=1．证明由已知易见A_。，⋯，A为彼此正交的幂等阵，然后应用[10】，不难证明本引理．弓l理2设t∈F'X，Y∈Ms(F)，贝0(X+tY)=X+tZ1+t2Z2+．··+tk-1Zk一1+tkYk，收稿日期：2002—03-07．收到修改稿日期：2002—07，19．基金项目：国家自然科学基金(10271021)，黑龙江省f1然科学基金(AO1—07)，黑龙江省教育厅基金(15011014)维普资讯http://www.cqvip.com数学进展33卷其中Z1=∑y一p，一1：

5、∑YPXY卜p．引理3设1，⋯，As∈(F)且存在彼此互异的l，⋯，。∈F使∑1；_。A=0，∈[1，s】，则A1=2=⋯：A。=0．证明由线性方程组理论易证．弓l理4设，∈F，A，B∈(F)，贝U(i)∑，(A)，(B)，()一一=∑f(APBA一一)；p=Op=O(ii)若A与B正交且A=A，则f(A)与／(B)正交．证明任取t∈[1，叫，由，是加法映射知[f(A+￡B)】=[f(A)+￡，(B)】，又，∈F故[f(A+￡B)】=，[(+tB)】，将上两式右端按引理2展开，然后应用引理3，看t及t的系数阵不难推出本引理之(i)．若A与B正交知(i)之右端为

6、0，从而推出左端为0，于是f(A)f(B)：，()I(B)=，()[，()k-1，(B)]／一1一2、：八)(∑f(A)Pf(B)f(A)卜一∑f(A)Pf(B)f(A)卜)＼p=Op=O／一1=一∑Y(A)Pf(B)y(A)一=，(B)，()：，(B)，()．将f(A)f(B)=f(B)f(A)代入(i)之左端，易见∑三，()k-1／(B)=0，这意味着kf(A)k-1／(B)=0，故f(A)f(B)=，)，)k-1／(B)=0，(ii)得证．引理5设，∈F，若对某个i∈[1，n]及某个非零的a∈F有f(aEi~)=0，则／(bEz)=0，Vb∈F，J∈[1

7、，凡]．证明任取b∈应用引理40)，取A=aEB=(ak-1)_。bEii，易推得f(bEii)=0．在引理4(i)中再取A=Eii，B=bDij，由f(Eii)=0，易见一1∑，((6J[)j)E)=0，p=O于是，注意bDU=E_。bD+bD巧E一+∑pk：-l2E6DE一_。。，取，下之象可得f(bDij)=01)当k为偶数时，注意f(bDij)=0，f(bEii)=0可得，(易J)=，(J+bkE)：，[()]=f(bDij)：02)当k是奇数时，在引理4(i)中取B=Eii，A=bDij，注意／(bD~j)=0可得k一1∑f((bDu)E(6J[))

8、一)=0，p=O维普资讯http://