大学高等数学向量及线性运算

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1、《高等数学》下册主要内容1.向量代数与空间解析几何2.多元函数微分学3.多元函数积分学(重积分、曲线积分、曲面积分）4.无穷级数1162131942@qq.com密码gs12345机动目录上页下页返回结束第八章空间解析几何与向量代数第一部分向量代数第二部分空间解析几何在三维空间中:空间形式—点,线,面数量关系—坐标,方程（组）基本方法—坐标法;向量法第一节向量及其线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影机动目录上页下页返回结束一、向量的概念向量:既有大小,又有方向的量称为向

2、量(又称矢量).表示法:有向线段M1M2,或a,或a.向量的模:向量的大小,记作MM,12向径(矢径):起点为原点的向量.自由向量:与起点无关的向量.M2单位向量:模为1的向量,记作a或a.M1零向量:模为0的向量,记作0，或0.机动目录上页下页返回结束若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,记作a∥b;规定:零向量与任何向量平行;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作－a;因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到

3、同一平面上,则称此k个向量共面.机动目录上页下页返回结束二、向量的线性运算1.向量的加法c平行四边形法则:(ab)cbcbaba(bc)aabb三角形法则:abbaa运算规律:交换律abba结合律(ab)ca(bc)abc三角形法则可推广到多个向量相加.机动目录上页下页返回结束sa1a2a3a4a5a4a5a3sa2a1机动目录上页下页返回结束2.向量的减法ba三角不等式等号当且仅当ab,同向或反向时成立。机动目录上页下页返回结束3.向量与数的乘法是一个数,与a的乘积是一个新向量,记作a.

4、规定:可见总之:aa1aa;(a)a运算律:结合律(a)1aa;分配律(ab)ab1o则有单位向量aa因此a=aaa机动目录上页下页返回结束定理1.设a为非零向量,则a∥b(为唯一实数)证:“”.设a∥b,取＝±,a,b同向时取正号,反向时取负号,则b与a同向,且b故ba.再证数的唯一性.设又有b＝a,则()a0故0,即.机动目录上页下页返回结束“”已知b＝a,则b＝0a,b同向a∥ba,b反向例1.设M为ABCD对角线的交点,试

5、用a与b表示MA,MB,MC,MD.解:abAC2MADCbaBD2MBbMMA1(ab)MB1(ba)AaB22MC1(ab)MD1(ba)22机动目录上页下页返回结束三、空间直角坐标系1.空间直角坐标系的基本概念过空间一定点o,由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.zz轴(竖轴)•坐标原点ⅢⅡ•坐标轴yoz面Ⅳ•坐标面Ⅰoxoy面y•卦限(八个)y轴(纵轴)Ⅶxx轴(横轴)ⅥⅤⅧ机动目录上页下页返回结束在直角坐标系下1111点M有序数组(x,y,z)向径r(称为点

6、M的坐标)特殊点的坐标:原点O(0,0,0);坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,CzR(0,0,z)B(0,y,z)C(x,o,z)rMoyQ(0,y,0)xP(x,0,0)A(x,y,0)机动目录上页下页返回结束z坐标轴:oyx坐标面:机动目录上页下页返回结束2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,任意向量r可用向径OM表示.以i,j,k分别表示x,y,z轴上的单位向量,设点M的坐标为M(x,y,z),则zOMONNMOAOBOCCMrkjBor=xi+yj+zkx,y,ziyA此式称为向量r的坐标分解式

7、,xN在三个坐标轴上坐标.沿三个坐标轴方向的分向量.机动目录上页下页返回结束四、利用坐标作向量的线性运算设aaaax,y,z,bbbbx,y,z,为实数，则abaxbax,,ybayzbzaa,,aaxyz平行向量对应坐标成比例:当a0时,bxaxbayybxbybzbzazaxayaz机动目录上页下页返回结束例2.求解以向量为未知元的线性方程组5x3ya①3x2yb②其中ab212,，，11，，2.解:2×①－3×②,得x2a3

8、b7,1,10代入②得1y(3xb)11,2,162机动目录上页下页返回结束例3.已知两点及实数1,在AB直线上求一点