向量的内积 外积 混合积课件

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1、第二节向量的内积外积与混合积一、向量的内积二、向量的外积三、向量的混合积一、向量的内积引例.设一物体在常力F作用下,沿与力夹角为的直线移动,位移为s,则力F所做的功为WFscosF1.定义设向量a,b的夹角为,称M1sM2记作abcosabWFs为a与b的内积(数量积,点积)当a0时,b在a上的投影为记作bcosrPjabb故abajrPaba同理,当b0时,abbjrPab2.性质2)1(aaa)2(a,b为两个非零向量,则有ab

2、0ab3.运算律(1)交换律abbaba(2)结合律(,为实数)(a)ba(b)(ab)(ab)(a)(b)a(b)cPrjaPrjcb(ab)cPrj(ab)c(3)分配律abcacbc事实上,当c0时,显然成立;当c0时abccjrPabcPrjcaPrjcbccjrPacjrPcbacbcc思考：下列等式是否成立？

3、)1(a

4、aaa;)2

5、(a(ab)(aa)b;()3(ab)(ab)(aa)(bb);()4(ab)ca(bc).什么时候等式成立？例1.证明三角形余弦定理222cab2abcosA证:如图.设bcCBa,CAb,ABcC则cabBa2c(ab)(ab)aabb2ab22ab2abcosaa,bb,cc222cab2abcos4.数量积的坐标表示设aaiajak,bbibjbk,则xyzxyza

6、b(axiayjazk)(bxibyjbzk)iijjkk,1ijjkki0abaxbxaybyazbz两向量的夹角公式当a,b为非零向量时,由于ababcos,得abaxbxaybyazbzcosab222222aaabbbxyzxyz例2.已知三点M,)1,1,1(A1,2,2(),B,)2,1,2(求AMB.A解:MA(,1,10,)MB(,1,01)B则cosAMBMAMBMMAMB1001222

7、AMB故3例3.设均匀流速为v的流体流过一个面积为A的平面域,且v与该平面域的单位垂直向量n的夹角为,求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度为).v解:PAvcosnn为单位向量AvnA单位时间内流过的体积Avcos例4已知a(1,1,4)，b(1,2,2)，求（1）a·b；（2）a与b的夹角；（3）a在b上的投影.解)1(ab111()2()42.9abababxxyyzz)2(cos222222a

8、aabbbxyzxyz13,.24ab)3(ab

9、b

10、PrjaPrja.3bb

11、b

12、例5证明向量c与向量(a·c)b(b·c)a垂直.证[(ac)b(bc)a]c[(ac)bc(bc)ac](cb)[acac]0[(ac)b(bc)a]c二、向量的外积引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为的力F作用在杠杆的P点上,则力F作用在

13、杠杆上的力矩是一个向量M:FMOQFOPFsinOPLOPFM符合右手规则QFMOPoPOQOPsinMFM1.定义设a,b的夹角为，定义方向:ca,cb且符合右手规则向量c模:cabsin称c为向量a与b的外积（向量积）b记作cab(叉积)a引例中的力矩MOPFcab思考:三角形面积a1S＝ab2b2.性质)1(aa0)2(a,b为非零向量,则ab0a∥b证明:当a,0b0时,ab0absin0sin0，即0或

14、a∥b3.运算律)1(abba(2)分配律(ab)cacbc(3)结合律(a)ba(b)(ab)(证明略)4.外积的坐标表示设aaiajak,bbibjbk,则xyzxyzab(axiayjazk)(bxibyjbzk)axbx(ii)axby(ij)axbz(ik)aybx(ji)ayby(jj)aybz(jk)azbx(ki)azby(kj)azbz(kk)(aybzazby)i(azb