力学中的数学方法-复变函数-1

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1、第二章复变函数技术复变函数的理论和方法在力学和其它工程技术中都有着广泛的应用，是解决诸如弹性理论中平面问题，断裂问题的有力工具。复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。1引言在十六世纪中叶，G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次方程xx(10−=)40时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为51+−−5与51−5。在当时，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚

2、数”。直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的iθEuler公式ei=+cosθsinθ揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到C.Wessel(挪威.1745-1818)和R.Argand(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及K.F.Gauss(德国1777-1855)与W.R.Hamilton(爱尔兰1805-1865)定义复数aib+为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支

3、到此才顺利地得到建立和发展。2§2-1复变函数与解析函数一、复数基础1、复数及其在复平面上的点表示一对有序实数（x,y）构成一个复数，记为z=x+iy.x,y分别称为Z的实部和虚部,记作x=Re(Z),y=Im(Z),.i=−1z=xiy−称为Z的共轭复数。复数z=x+iy↔平面XOY上的点zxy(,)虚轴yyz(x,y)z=x+iyr与（x,y）形成一一对应关系θ复平面0xx3实轴2、复数的向量(复平面上的)表示z=x+iy↔点M(x,y)↔OM（1）模——OM的长度r，记为

4、z

5、，则22

6、z

7、=r=x+y（2）辐角()——z≠0OM

8、与ox轴正向的夹角θ(周期性)记，Argz()=θ则x==rcos,θθyrsin复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有无穷多个幅角。通常把−π<θ≤π0的幅角称为Argz的主值。记为θ0=argz43、三角（或极坐标）表示z=x+iy=r(cosθ+isinθ)由x=rcosθ,y=rsinθ22yr=

9、z

10、=x+y,θ=arctanxiθ4、指数表示z=reiθ欧拉公式e=cosθ+isinθ5、代数表示z=x+iy56、共轭复数：z=x+iyz=x−iy,互为共轭复数（1）z=z（2）z±z=z±z1212（3）z1z2=z1

11、z2⎛z⎞z⎜1⎟1（4）⎜⎟=(z2≠0)zz⎝2⎠2（5）22zz=[Rez]+[Imz]zz+zz−（6）Rezz==,Im22i（7）z=z⇔z为实数.6二、连续曲线、简单曲线与光滑曲线1(、连续曲线——设ztx)=+(ti)y(tatb)(≤≤)，其中x(ty),(t)是实变量的连续函数，则tz()t表示复平面上的连续曲线C。222、光滑曲线－若对∀∈ta[,]b，有[()]xt′′+[()]yt≠0，则称zt()为光滑曲线。称za()和zb()为曲线的起点和终点。C即x′(t),y′(t)存在、连续且不全为零，则曲线光滑3,

12、、若对atbatb<<≤≤，当tt≠而有zt()＝zt()时，点zt()称为曲线的重点。C1212121没有重点的连续曲线称为简单曲线或约当（Jardan）曲线。t≠t,⇒z(t)≠z(t)1212除外z()()az=b无其它重点的连续曲线称为简单闭曲线7如何理解¢在几何直观上，简单曲线是平面上没有“打结”情形的连续曲线，即简单曲线自身是不会相交的；简单闭曲线除了没有“打结”情形之外，还必须是封闭的，例如，下图中的C1是简单曲线，C2是简单闭区域，下面图中的C3，C4不是简单曲线，但C3是闭曲线.8三、复平面的点集与区域1邻域B(z,r

13、)={z∈C:z−z

14、有瑕点1010单连通区域与多连通区域设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部仍属于D，则称D为单连通区域，否则称多连通区域。¢在几何直观上，单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙”的区域，而多