北大电磁学讲义之1.4 环路定理

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1、§4环路定理习题p741-24、25、26、36、37、39、41静电场力做功与路径无关¢电荷间的作用力是有心力——环路定理¢讨论静电场的环流⎧≠0⇒有旋流速场的环流∫v⋅dl⎨⎩=0⇒无旋¢静电场：电力线不闭合⇒∫E⋅dl=0¢可以猜到静电场的环流为零2005.2.北京大学物理学院王稼军编写证明¢单个点电荷产生的场¢把试探电荷q从P移到Q0QQQrQqqrQdr0A=F⋅dl=Fcosθdl=Fdr=Fdr=PQ∫P∫P∫Pr∫∫r2P'4πε0P'rqqrQdrqq⎛11⎞rQA=0=0⎜−⎟=qE(r)drPQ∫r

2、2⎜⎟0∫r4πε0P'r4πε0⎝rp'rQ⎠P'¢静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关2005.2.北京大学物理学院王稼军编写点电荷组产生的场q,q,L,q12nE=E+E+L+E12n¢在电场中把试探电荷从P移至Q电场力所做的功QrrQrrA=F⋅dl=qE⋅dlPQ∫0∫PPQQrrrrQrr⎡⎤=qE⋅dl+E⋅dl+LE⋅dl0⎢⎣∫PP1∫2∫Pn⎥⎦q⎧⎪⎛qq⎞⎛qq⎞⎫⎪⎛qq⎞=0⎨⎜1−1⎟+⎜2−2⎟⎬+L⎜n−n⎟4πε0⎪⎩⎜⎝rp1rQ1⎠⎟⎜⎝rp2rQ2⎟⎠⎪⎭⎜⎝rpnrQn⎟⎠

3、P到q1Q到q的1的距离每项均与路径无关，只与位置有关距离2005.2.北京大学物理学院王稼军编写任意有限大的带电体产生的电场¢可以将带电体无限分割成微元，每一个微元均为一点电荷——点电荷组¢结论：在任何电场中移动试探电荷时，电场力所做的功除了与电场本身有关外，只与试探电荷的大小及其起点、终点有关，与移动电荷所走过的路径无关2005.2.北京大学物理学院王稼军编写静电场的环路定理¢静电场力做功与路径无关等价于静电场力沿任意闭合回路做功恒等于零⇒∫E⋅dl=0¢在任意电场中取一闭合回路，将试探电荷沿路径L从p——Q——P，

4、电场力所做的功为QPA=qE⋅dl=qE⋅dl+qE⋅dl0∫0∫P(L)0∫Q(L)12LQQ⇒∫E⋅dl=0=qE⋅dl−qE⋅dl=0∫0∫p(L)0∫p(L)122005.2.北京大学物理学院王稼军编写讨论¢在证明Gauss定理中，说电力必须与r2成反比，那么在环路定理的证明中是否也必须要求与r2成反比？¢答：不不定一定如弹性力f=kr也有类似性质¢哪些力具有做功与路径无关这种性质？¢引力引入引力势能¢重力引入重力势能势函数¢弹性力引入弹性势能（位）¢静电力引入静电势能2005.2.北京大学物理学院王稼军编写电势

5、能、电势差、电势电场力定义静电场与q0有能量交换的功QA=qE⋅dl=W=W−W=−(W−W)PQ0∫PQPQQPP电势能的q在P点0改变量的电势能q0在Q点电势增量的电势能¢可以与重力做功类比¢电场力做正功，电势能将减少¢电场力做负功，电势能将增加2005.2.北京大学物理学院王稼军编写电势的定义⎧>0电场付出能量，能量减少⎪APQ⎨=WPQ(电势能的减少，与场源和q0均有关⎪⎩<0电场吸收能量，能量增加¢从中扣除q,即引入电势0WAQPQPQ==U=E⋅dlPQ∫qqP00¢P、Q两点之间的电势差定义为¢从P点到Q点

6、移动单位正电荷时电场力所作的功¢单位正电荷的电势能差2005.2.北京大学物理学院王稼军编写空间某点的电势值¢为了确定某点的值，还需要选择零点¢一般选择无穷远为势能零点,P点电势值为A∞PU(p)=U==E⋅dlP∞∫qP0¢两点之间电势差可表为两点电势值之差Q∞QU=E⋅dl=E⋅dl+E⋅dl=U(P)−U(Q)PQ∫P∫P∫∞¢单位：1V(伏特）＝1J/C2005.2.北京大学物理学院王稼军编写1qiU=i4πεr电势叠加原理0i¢点电荷组有∞∞∞∞U=E⋅dl=E⋅dl+E⋅dl+L+E⋅dl+LP∫P∫P1∫P

7、2∫Pk=UP1+UP2+L+UPk+L=∑Upii∞¢连续带电体有U=E⋅dl=dUP∫P∫∞1∞dq1dq1dqdU==(−=4∫Pr2r4rπε4πεπε00P0P2005.2.北京大学物理学院王稼军编写讨论¢电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量，与试探电荷无关，是标量。电势叠加是标量叠加。¢电势U：P与无穷处电势差P¢电势零点选取¢可以任意选取¢选择零点原则：场弱、变化不太剧烈¢问题¢选无穷远为零点`？a选地为零点即地和无穷远等电势吗？2005.2.北京大学物理学院王稼军编写地与无穷远的电势差¢实际地球周围

8、大气中有一个方向向下的静电场是地球所带的负电荷和大气中的等离子体产生的¢若以无穷远为势能零点，则地球的电势为8U=−5.4×10V地¢思考：¢点电荷的势能零点是否可以选在电荷上？¢无限大平面板的势能零点能否选在无穷远？2005.2.北京大学物理学院王稼军编写例题10一示波器中阳极A和阴极K之间的电压是3000V300