二阶亚纯系数微分方程解的零点分布

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1、万方数据应用数学MATHEMATlCAAPPLlCATA2009。22(2)：365～369二阶亚纯系数微分方程解的零点分布田宏根1，吴昭君2(1．新疆师范大学数理信息学院，新疆鸟鲁木齐830054；2．成宁学院数学系，湖北成宁437100)摘要：应用角域Nevanlinna理论，研究了二阶亚纯系数微分方程’厂7+A(z)厂=0的解的零点聚值线和Borel方向之间的关系．推广了文献E5-1中的一个定理．关键词：零点聚值线；亚纯系数；超级；Borel方向中图分类号：01"74．5AMS(2000)主题分类：34M20；30D35文献标识码：A文章编号

2、：1001—9847(2009)02—0365—051．引言和主要结果本文假定读者熟知Nevanlinna值分布论的基本结果并采用标准的Nevanlinna值分布论的记乒1，2]．我们用T(r，厂)，A(，)，d(，)分别表示复平面上亚纯函数厂的特征函数，零点收敛指数和级．定义亚纯函数的超级a2(f)=lim一。。sup型俨．r十o。1U芷，在[3]中，BankS和LaineI首次应用亚纯函数的Nevanlinna理论研究了二阶微分方程／7+A(z)f=0(1)的解的零点分布，其中A(z)为多项式或超越整函数．他们证明了定理1设A(z)是超越整函数

3、，其级为盯．假设^，厂2是方程(1)的两个线性无关的解．如果盯<1／2，则max{a(厂1)，A(^))=o。．自从1982年，BankS和LaineIC33对方程(1)进行研究并取得相关结果以来，关于微分方程解的零点分布问题受到国内外很多学者的关注，并取得了一些重要的结果瞳一]．2004年，伍胜健从辐角分布的角度研究了二阶微分方程解的零点聚值线和Borel方向之间的关系，证明了定理2[53设A(z)是一个级为盯<。。的超越整函数，，l，^是方程(1)的两个线性无关的解，记E=f。f2．再设E的零点收敛指数A(E)=00，则射线argz=口是E的一

4、条OO级Borel方向的充分必要条件是A，(E)=∞，其中彬E)一粤h。(E)'h舢卜lim一。sup0迪坐等等业．‘_．，。+∞1uX，自伍胜健‘53的结果发表以来，文[6—8]进一步研究了超越整函数系数微分方程的解的零点-收稿日期：2008-06-18基金项目：国家自然科学基金资助项目(10471048)作者简介：田宏根，男，汉，江苏人．教授，研究方向：复分析及其应用．万方数据366应用数学2009聚值线和Borel方向之间的关系．然而，由于伍胜健‘53的研究方法中运用了最大模这样一个工具，因此，至今尚未出现关于亚纯函数系数二阶微分方程解零点聚

5、值线和B0rel方向之间的关系的相关结果．本文运用角域Nevanlinna理论，用新的方法研究超越亚纯函数系数的二阶微分方程(1)的解的零点聚值线和B0rel方向之间的关系，证明如下定理．定理3设A(z)是超越亚纯函数，其级为盯(A(z))

6、^，如果盯(E)一。。，那么至少存在一条从原点出发的半直线L：argz一0，使得A口(E)=∞．推论2设A(z)是超越亚纯函数，其级为盯(A(z))<。。．假设^，^是方程(1)的两个线性无关的解，E=厂l，2．如果盯(E)<∞，则max{X(^)，A(厂2)}<。。．2．角域内的Nevanlinna理论我们的证明需要角域内的Nevanlinna理论o]，为方便见，先介绍角域内的Nevanlinna理论[”]．设，(z)是一个亚纯函数，考虑射线L：argz一80和角域口一岛一叩≤argz≤岛十17一卢，0<叩<号．令是一÷L，当r>1时，定义p一口

7、州吖)一鼽(吉一卸log+lf(tek)I+l。g+l弛柳峨dt；蹦吖)一等『：109+I弛∽lsin砌一口)dO；岛(r，p=2罨(击一警)sin姗刊，其中和式∑是对厂(2)在扇型区域△：1

8、，)，B(r，，)，C(r，，)，D(r，，)，S(r，，)表示A币(r，厂)，B中(r，厂)，C0(r，厂)，D币(r，