一类亚纯系数微分方程解的增长性

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1、万方数据2008年3月第24卷第1期纯粹数学与应用数学PureandAppliedMathematicsMttr．2008Vm．24No．1一类亚纯系数微分方程解的增长性刘慧芳(华南师范大学数学科学学院，广东广州510631；江西师范大学数学与信息科学学院，江两南昌330027)摘要：研究了一类亚纯系数微分方程的复振荡问题．通过应用亚纯函数的分解和模的增长估计，得到了该类方程解的级及其超级的精确估计．关键词：微分方程；亚纯函数；级；超级中图分类号：0174．52文献标识码：A文章编号：1008-

2、5513(2008)01—0025-051引言及主要结果本文采用值分布论的标准记号(参阅【1—2】)，并用仃(，)，cr2(，)，A(f)表示亚纯函数的级，超级，零点收敛指数．．2001年，陈宗煊研究了如下问题：设Q(z)为有限级整函数，当盯(Q)=1时，Q(z)满足什么条件，将使得微分方程，Ⅳ+e-Zf’+Q(z)f=o的每一非零解具有无穷级?得到的结果大大推广和完善了文陆6】的结果．2005年，陈宗煊进一步考虑了这一问题，得到定理_J假设Aj(z)(≠0)U=0，1)是亚纯函数且盯(Aj)<

3、1，口，b为复常数，且满足ab≠0和arga≠argb或o=c6(0

4、力．程(1)的每一非零皿纯解f为无穷级．定理2在定理1的条件下，如果方程(1)的非零弧纯解满足A(f)<+∞，那么u2(f)=n．2引理’引理1【2】假设f(z)是超越哑纯函数且盯(，)=盯<+oo，日={(七1，j1)，⋯，(kq,九))是不同整数对的有限集合，满足乜>五≥0(i=1，⋯，口)．假设￡>0是一给定常数，则收稿日期：2006-02-28．基金项目：困家自然科学基金(10161006)．，作者简介：刘慧芳(1973-)，女，副教授，研究方向：复分析万方数据纯粹数学暂应用数学第24卷

5、(i)存在一集合Ecfo，2丌)，其线测度为零，使得如果妒∈【0，孙)＼E，则存在常数Ro=砀(访>圭，对满怒argz一妒及

6、Z

7、≥硒的赝蠢z及对掰有《‰歹)《H，有≤鄙知叫)(∥一1+8)(ii)存在对数测度为有限的集合鼢c(1，oo)，使得对所有满足吲=，．g【0，l】U岛的名及对所有(南，J)∈盯，上式成立．弓l理217]假设，(名)是超越照纯函数且口(，)一矿}<+∞，则对垤>0，存在一集合Ec10，2霄)，箕线测度为零，使得如果妒∈10，27r)＼E，剡存在常数Ro—Ro(谚>1，对满

8、足argZ=妒及lZl≥Ro的所有z，有exp{一，十8)≤f，(名)I≤expr一帕)．引理3假设P(z)一陋+妒)扩+⋯(a，p是实数，

9、Oll十矧≠o)是多项式且次数耗波l，盖(z)(雾0)是豫纯函数藏扩(园<珏．令g(z)=A(z)eP(引，z一尹e罐，5(冀0)=QcosnO一13sinnO，那么对任意给定的￡>0，存在集合H1C【o，2霄)，其线测度为零，满足对任意0∈【0，2丌)＼(肌UH2)，存在R>0，使得对IZI=r>R，有①如果6(只0)>0，那么exp{(1一e)6(P,

10、O)r珏)S

11、9(re韬)l≤exp{(1+g)艿(只秽)rn}②如果艿(只0)<0，那么exp{(1十e)6(P,ok嚣}≤Ig(re钳)I≤exp{(1一e)6(P,ok-}其中％={移∈【o，27r)；6(只0)=o'是有限集．证髓改写g(z)褥g(z)=雠(酣锄r，其中w(z》楚妥纯丞数且疗(铋)一s<‰由零l理2，对垤>0，存在零测度集／-／1c【0，2,0，使得如聚0∈fo'2丌)＼研，则存在常数R=R(o)，>1．对满足argz}0及例，≥8的所有名，有exp{一r卧8}筵I叫(z

12、)I冬expr卧6}．又因为

13、e(a+妒)。”l=ere(a+徊)2”一er“5(只们，从而当0∈泠，21r)＼(最U互如)及吲一r>R时，有exp{一r外8+艿(P'o)rn)≤Ig(r@s)l≤expr卧嚣+6(P'p)矿}由上式秘《P，0)>0或艿(只移)<0即褥证．萼l毽4F'l设，(z)是亚纯函数嚣拶(歹)=拶<+oo，剡对锪>0，存在一集合Ec(1，oo)，具有有限对数测度，使得对所有满足例=rg【0，1】UE的z，溺_r_oo时，有I，(石)l冬exp{r¨6}．弓l理5假设hk=