一、数学物理方法 课件 1_1复数及其运算

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1、绪绪论论一、发展史：复变函数理论被人誉为19世纪最独特的创造，这个新的数学分支统治了19世纪。几乎象微积分的直接扩展统治了18世纪那样，曾被称为19世纪的数学享受，也曾被称为抽象科学最和谐的理论之一。复变函数理论中最重要的内容是解析函数。解析函数不仅对数学自身的发展起了重大作用，而且在理论物理、空气动力学、流体力学、天体物理、弹性理论及其工程技术中也有广泛的应用。所以本篇研究的中心问题是解析函数的问题由于复变函数是定义在复数集上的，为此在学习时我们首先需要复习有关复数的概念。二、复变函数的内容：１、将“实函”中,函数、极限、连续、微商、积

2、分、级数推广至“复函”中；２、解除了实数领域中若干禁令：cosaa-2lg(-1)esina实函:xx+b不存在不存在£1e¹e（ａ＝ｘ）复函:±i2lg1+ip³<1,1ez+ik2p（ａ＝ｚ）３、建立了三角函数和指数函数，双曲函数的关系：±ixe=cosx±isinxsin(ix)=ishx,cos(ix)=chx三、复变函数的应用：1、解偏微分方程的边值问题，如：保角变换法、复变函数法；2、解偏微分方程的初值问题，如：积分变换法、行波法；3、计算实积分，如：留数定理。§1.1复数及其运算一、复数概念：1.定义z=(x,)y=+xiy

3、z=-xiy2.性质ìïz=+xiy(1)111íuuuuuurïîz=+xiy222ìïxx=12zz=Ûí12ïîyy=12(2)z无大小：z>

4、garctg1xpArgz=+2kkp(=±1,±2,)×××4y问题：若0<£argz2p,?如何用arctg表示argzx问题答案ìyïarctg,xy>>0,0xïïyp-arctg,xy<>0,0ïïx答：argz=íïyp+arctg,xy<<0,0ïxïyï2p-arctg,xy><0,0ïîx(4)复球表示：复平面+¥=全平面¬¾¾¾®复球面北极N¬¾¾¾®¥注意：o1∞与数学分析中+∞、-∞有着区根本别，在那儿+∞、-∞只是量变变化的记号ì∞=∞，但实部、虚部和辐角则认为是意无义的ïï∞±z=z±∞（z≠∞）2o规定：ïz

5、í=0（z≠∞）ï∞ïzï=∞（z≠0）î02、代数表示：ìx+iyïz=+írcosjrjsin(三角）ïijîre三、复数的运算规则：1、运算结果与实数相符合2、运算与实数规则相符合即加法满足交换率、结合率，乘法满足交换率、结合率和对加法的分配率23、足满i=-1若z=x+iy，z=+xiy111222z±z=(x±x)+±i(yy)121212z´z=(xx-yy)++i(xyyx)1212121212容易证得：ijiij()jj+ìe1×=ee212ïijiij()jj-ïe1/ee2=12ï22íz+z=(z+-z)()zz12

6、1212ïnïnmmnm-ï()z1+=z2åCnzz12îm=0由上面的结论，可证明：i()Argz+Argzz×z=×zze12ì1212ïi()Argz-Argzz/z=¹(z/z)ez12(0)ïï12122ínninArgzïz=zeïargzk+2pïîmmimìk=0,±±1，2，...z=ze，íîm³2证明：eij1×eij2=(cosj+isinj)(cosj+isinj)1122=(cosjcosj-isinjsinj)+1212i(sinjcosj+cosjsinj)1212=cos(j+j)+isin(j+j)1

7、212i(j+j)=e12iArgz12iArgzz×z=×zeze1212i()Argz12+Argz=×zze12niArgziArgziArgzz=×zeze....zeni(Argz+Argz++...)Argz=zeninArgz=zemm注意：在z的含是义,若复数w=z，则称w是z的一个m次方根，而求称为z的全部m次方根把m复数开记m次方或求z的m次方根，作z.对于式argzk+2pmimìk=0,±±1，，2...z=mze，íîm³2miθij证:令z=w,z=re,w=ρe,（其中r，ρ，θ，jm则义由定z=w,分别为z

8、和w的iθmimj即re=ρe模和辐角）iaQei=+cosaasin=cos(a+skp)++iksin(ap2)=eik(ap+2)即指数函数是以2p为周期的mìïρ=r∴上式相等有：í*