化大为小找规律

《化大为小找规律》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2化大为小找规律　　我们先来看一个大数目的计算问题：计算自然数中小于10000的所有奇数的和。　　本题实际上就是计算下式的结果：　　1+3+5+…+9995+9997+9999　　由于1至10000这10000个自然数中，奇数与偶数各占一半，所以上式中共有5000个加数。　　5000个数太多，逐个相加太麻烦。多的不会，想少的，观察下列特殊情况：　　1+3=4=22　　1+3+5=9=32　　1+3+5+7=16=42　　1+3+5+7+9=25=52　　……　　从上面这组算式不难发现这样一条规律：从1开始连续n个奇数的和，恰好等于n2。这样，我们只要知道小于10000的奇数共有多少个，就可以直

2、接写出得数了。　　我们知道，从1开始的连续偶数个自然数中，奇数、偶数各占一半，所以，小于10000的自然数中，奇数共有5000个。因此　　1+3+5+7+……+9995+9997+9999　　=50002　　=25000000　　在解决上面这个问题时，我们体会到：　　对于一些较复杂或数目较大的问题，如果一时感到无从下手，我们不妨把问题尽量简单化，在不改变问题性质的前提下，考虑问题最简单的情况（化大为小），从中分析探寻出问题的规律，以获得问题的答案。　　这就是解数学题常用的一种方法，叫做归纳，我们也可以叫做“化大为小找规律”。　　　　【分析与解】我们可以先来计算11×99、111×999、111

3、1×9999，看看它们的积各是多少，它们积里各有多少个数字是偶数。　　11×99=1089（有2个数字是偶数。）　　111×999=110889（有3个数字是偶数。）　　1111×9999=11108889（有4个数字是偶数。）　　　　是偶数。　　通过计算，可知　　　　是偶数。　　从上面4个算式的结果中，我们可以找到一个规律：几个1乘以相同个数的9，它的乘积，中间有1个0；在0的前面是若干个1，个数比被乘数1的个数少1；在0的后面是若干个8，个数与积中1的个数同样多；积的最末位是9。积里的偶数（包含1个0和若干个8）的个数和被乘数1或乘数9的个数同样多。　　根据这一规律，我们可以推想：　　　　

4、这个积里有1个0及19个8，有20个数字是偶数。【例2】数一数，图2-1中共有多少个正方形？　　　【分析与解】我们把图2-1先放在一边，来看图2-2和图2-3、图2-4中的正方形分别有多少个。　　在图2-2中，边长为1的正方形有4个，边长为2的正方形有1个，一共是：　　1+4=5（个）　　在图2-3中，边长为1的正方形有9个，边长为2的正方形有4个，边长为3的正方形有1个，一共是：　　1+4+9=14（个）　　在图2-4中，边长为1、2、3、4的正方形分别有16个、9个、4个、1个，一共是：　　1+4+9+16=30（个）　　现在，我们发现了规律：当正方形中相邻两个边被分为n等份，以每个等分点

5、为端点，作与它相邻的另一条边的平行线。由这些平行线所组成的正方形（包括原来那个最大的正方形）的总个数是：　　12+22+32+……+n2　　根据这条规律，可算出图2-1中正方形总个数是：　　1+4+9+16+25+36+49+64+81+100=385（个）　　【例3】计算　　【分析与解】上面的加法算式中共有99个加数，而且这些分数的分母越来越大，通分显然不是好办法。还是用“化大为小”的方法试试吧。　　　　写到这里，规律已经出现了：如果算式中的加数共有n个，那么，计算结果（一个分数）的分子就是n，分母就是n+1。由此，可直接写出本题的答案　　不过，要提醒同学们注意的是：当你找到了规律之后，不要

6、急于马上就去套用，还得先检验一下，看这个规律是不是“灵”。如果不灵，那就要多举几个例子，并对已经总结的结论加以修正。　　【例4】将自然数1，2，3，4，……像图2-5那样按顺序排列起来。在最上面一行中，从左到右第100个数是____；在最左边一列中，从上到下第100个数是____。　　【分析与解】先仔细观察最上面一行靠最左边的几个数，看它们的排列有什么规律。　　第1列是a1=1=1　　第2列是a2=3=1+2　　第3列是a3=6=1+2+3　　第4列是a4=10=1+2+3+4　　……　　现在可以发现规律了。　　第100列是a100=1+2+3+4+5+…+99+100　　=（1+100）×1

7、00÷2　　=5050　　5050就是最上面一行中从左到右的第100个数。　　再来看最左边一列数从上到下的排列规律。　　第2行是b2=2=1+1=a1+1　　第3行是b3=4=3+1=a2+1　　第4行是b4=7=6+1=a3+1　　第5行是b5=11=10+1=a4+1　　……　　现在，可以得出最左边一列的各个数与最上面一行数之间有一种对应关系，那就是：　　bn=an-1+1　　知道an-1是多