胡克定律与拉压杆的变形

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1、§7胡克定律与拉压杆的变形¶轴向变形与胡克定律¶横向变形与泊松比¶叠加原理¶例题¶胡克定律与杆的轴向变形胡克定律实验表明：当σ≤σp时，σ∝ε引入比例常数Eσ=Eε在比例极限内，正应力与正应变成正比－胡克定律E－弹性模量，其量纲与应力相同，常用单位为GPa931GPa=10Pa=10MPa钢与合金钢：E=200~220GPa铝合金：E=70~72GPa轴向变形公式ò等截面匀质杆:F∆lNσ=Eεσ=ε=AlFl∆l=N－胡克定律EA在比例极限内，拉压杆的轴向变形∆l，与轴力F及杆长l成正比，与乘积EA成反比NEA-杆截面的拉压刚度∆l-伸长为正,缩短为负ò阶梯

2、形杆:nn－杆段总数FlNii∆l=∑i=1EiAiFNi－杆段i的轴力¶横向变形与泊松比拉压杆的横向变形∆b∆b=b1−bε'=b泊松比试验表明：在比例极限内，ε’∝ε，并异号ε'=−µεµ－泊松比(0≤µ≤0.5)σµσε=ε'=−EE¶叠加原理算例试分析杆AC的轴向变形∆l1.分段解法FN1=F2−F1FN2=F2FlFl(F−F)lFlN11N2221122(∆l)=+=+分段解法EAEAEAEAF(l+l)Fl(∆l)=212−11分段解法EAEAF(l+l)Fl(∆l)=212−11分段解法EAEA2.分解载荷法FlF(l+l)11212∆l=−∆

3、l=F1EAF2EAF(l+l)Fl21211(∆l)=∆l+∆l=−分解载荷F1F2EAEA3.比较(∆l)分段解法=(∆l)分解载荷叠加原理ò原理几个载荷同时作用所产生的总效果，等于各载荷单独作用产生的效果的总和ò应用当杆件内力、应力及变形，与外力成正比关系时，通常即可应用叠加原理ò例题用叠加法分析内力F=F+F=−F+FN1N1,F1N1,F212¶例题例7-1已知l=54mm,d=15.3mm,E＝200GPa,µ=0.3,i拧紧后,AB段的轴向变形为∆l＝0.04mm。试求螺栓横截面上的正应力σ,与螺栓的横向变形∆d解：1.螺栓横截面正应力∆l-4σ

4、=Eεε==7.41×10lσ=εE=148.2MPa2.螺栓横向变形'=−0.3×7.41×10−4=−2.22×10−4ε'=−µεε∆d=ε'd=−0.0034mmi螺栓直径缩小0.0034mm例7-2图示桁架，杆1与2分别用钢与松木制成。F=10kN；E=200GPa,A=100mm2,l=1m；E=10GPa,1112A=4000mm2。试求节点A的水平与铅垂位移。2解：1.轴力与变形分析F=2F(拉伸)N1F=−F(压缩)N2Fl2F⋅2lN11∆l==1EAEA112Fl==0.707mm(伸长)EAFN2l2−Fl∆l2===−0.177mm(

5、缩短)E2A2EA2.作图法确定节点新位置∆l1=0.707mm<

6、asin30刚体EAFN=8F2.计算∆ll8F⋅Flsin60a16FlNCD==∆l=EAEA3EA3.画变形图4.位移计算∆l64Fl∆=AA'=2CC'=2⋅=(↓)Aya3EAcos60§8简单拉压静不定问题¶静不定问题与静不定度¶静不定问题分析¶例题¶静不定问题与静不定度ò静定问题仅由平衡方程即可确定全部未知力（约束反力与内力）的问题ò静不定问题仅由平衡方程不能确定全部未知力的问题静定问题一度静不定ò静不定度未知力数与有效平衡方程数之差¶静不定问题分析分析方法求解思路å建立平衡方程ç建立补充方程é联立求解变形协调方程各杆的变形间满足f(∆l,∆l,

7、∆l)=0F(F,F,F)=0123N1N2N3一定关系∆l~F(i=1,2,3)补充方程iNi利用变形协调方程与物理方程，建立补充方程求解算例EA=EAå平衡方程1122Fsinα−Fsinα=0N2N1Fcosα+Fcosα+F−F=0N1N2N3ç变形几何关系∆l=∆lcosα－变形协调方程13é胡克定律FN1l1∆l=FN3l1cosα∆l1=3E1A1E3A3è补充方程E1A12F＝cosα⋅FN1N3EA33联立求解平衡与补充方程2FcosαFF=F=F=N1N2N3E3A33E1A13+2cosα1+2cosαEAEA1133静不定问题求解与内力

8、的特点综合考虑三方面（静力、几何与物理