第4章 矩形单元及等参单元

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1、第4章矩形单元及等参单元机械与汽车工程学院SchoolofMechanicalandAutomobileEngineering第4-1节矩形单元1、单元分析（位移、应力、应变）任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程，建立坐标系，如下图：ynmbxbklaaeT节点位移：uvkkulvlumvmunvn1）位移函数（双线性函数）假设8个节点的位移已知，通过插值来求单元内任一点的位移u(x,y)、v(x,y)uxy(,)xyxy1234（4-1）vxy(,)xy

2、xy5678将节点位移与节点坐标一起代入（4-1）可得：uababk1234vababk5678uababl1234vababl5678(4-2)uababm1234vababm5678uababn1234vababn5678求出待定系数，则单元位移可以表示为：uNuNuNuNukkllmmnn(43)vNvNvNvNvkkllmmn

3、n具体求解可参照三角形单元。用矩阵表示为：edNNNNklm0000Nn其中：N000NNNN0klmneTuvuvuvkkllmmnnuv形函数的具体表达式为：1xyN=(1)(1)k4ab1xyN=(1)(1)l4ab1xyN=(1)(1)m4ab1xyN=(1)(1)n4ab2)单元应力和应变0x由于[B]中元素是坐标的线性函xu数，所以在单元内部应变0线性yyv

4、xy变化。（比较3节点三角形单元）yxby0000bybyby1e000axaxaxbyax4abaxbyaxbyaxbyaxbyeeBBBBklmnB则应力向量可以表示为：[B]、[S]均不是常数矩eeDDBS阵，而是x、y的线性函数。因此矩形单元SDBSSklmnSS的精度比三角形三节点单元更高。对于平面应力问题，应力

5、矩阵为：11yx(1)(1)xyyxiiiiEyx11S(1)(1)(iklmn,,,)i24(1)xyyxiiii11x11y(1)(1)22yxxyiiii3）单元刚度矩阵eT[]kBDBtdxdyabTTTTabBklmnBBBDBBBBtklmndxdy写成分块矩阵的形式：kkkkkkklkmknkkkk[]=kelklllmlnkkkkmkmlmmmnkkkkn

6、knlnmnn对于平面应力问题，其中子矩阵：abeT[]kBrs[][]rDBstdxdyab2211ba111111(1)(1)Etabxx323yyyyxxxy2yxrsrsrsrsrsrs2224(1)1111ab1111(1)(1)yxx23yyyxx2xx3yyrsrsrsrsrsrs两种常用的载荷：（1）对于单元自重W，移置到每个节点上的载荷都等于W/4；（2）如果一个边界上受有三角形分布的表面力，且在

7、一个节点处为零，另一个节点处为最大，那么可将总表面力的1/3移置到前一个节点，2/3移置到后一个节点。六节点三角形单元在三角形单元i、j、k的每一边上增加一个节点i’、j’、k’，使每个单元具有六个节点，12个自由度，采用完全二次多项式的位移模式：22uxyxxyy12345622vxyxxyy789101112第4-2节等参单元1、等参单元的概念三角形单元适应性强，易于网格划分和逼近边界形状，缺点是位移模式为线性函数，单元应力和应变均为常数，精度不理想

8、。矩形单元位移模式为双线性函数，单元应力、应变是线性变化的，精度较高，形状规整，便于自动分网；缺点是不能适应曲线边界和斜边界，不能随意改变大小。等参单元：既能很好的适应曲线边界和准确的模拟结构形状，又具有较高次的位移模式，能够反映结构的复杂应力分布情况。等参单元的基本思想：首先推导出局部坐标下的规则单元（称为母单元）的形函数，其次利用形函数进行坐标变换，从而推导出整体坐标下的不规则单元（称为子