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时间:2019-05-28
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1、第4章矩形单元及等参单元机械与汽车工程学院SchoolofMechanicalandAutomobileEngineering第4-1节矩形单元1、单元分析(位移、应力、应变)任务:形成单元刚度矩阵,建立单元特性方程,建立坐标系,如下图:ynmbxbklaaeT节点位移:uvkkulvlumvmunvn1)位移函数(双线性函数)假设8个节点的位移已知,通过插值来求单元内任一点的位移u(x,y)、v(x,y)uxy(,)xyxy1234(4-1)vxy(,)xy
2、xy5678将节点位移与节点坐标一起代入(4-1)可得:uababk1234vababk5678uababl1234vababl5678(4-2)uababm1234vababm5678uababn1234vababn5678求出待定系数,则单元位移可以表示为:uNuNuNuNukkllmmnn(43)vNvNvNvNvkkllmmn
3、n具体求解可参照三角形单元。用矩阵表示为:edNNNNklm0000Nn其中:N000NNNN0klmneTuvuvuvkkllmmnnuv形函数的具体表达式为:1xyN=(1)(1)k4ab1xyN=(1)(1)l4ab1xyN=(1)(1)m4ab1xyN=(1)(1)n4ab2)单元应力和应变0x由于[B]中元素是坐标的线性函xu数,所以在单元内部应变0线性yyv
4、xy变化。(比较3节点三角形单元)yxby0000bybyby1e000axaxaxbyax4abaxbyaxbyaxbyaxbyeeBBBBklmnB则应力向量可以表示为:[B]、[S]均不是常数矩eeDDBS阵,而是x、y的线性函数。因此矩形单元SDBSSklmnSS的精度比三角形三节点单元更高。对于平面应力问题,应力
5、矩阵为:11yx(1)(1)xyyxiiiiEyx11S(1)(1)(iklmn,,,)i24(1)xyyxiiii11x11y(1)(1)22yxxyiiii3)单元刚度矩阵eT[]kBDBtdxdyabTTTTabBklmnBBBDBBBBtklmndxdy写成分块矩阵的形式:kkkkkkklkmknkkkk[]=kelklllmlnkkkkmkmlmmmnkkkkn
6、knlnmnn对于平面应力问题,其中子矩阵:abeT[]kBrs[][]rDBstdxdyab2211ba111111(1)(1)Etabxx323yyyyxxxy2yxrsrsrsrsrsrs2224(1)1111ab1111(1)(1)yxx23yyyxx2xx3yyrsrsrsrsrsrs两种常用的载荷:(1)对于单元自重W,移置到每个节点上的载荷都等于W/4;(2)如果一个边界上受有三角形分布的表面力,且在
7、一个节点处为零,另一个节点处为最大,那么可将总表面力的1/3移置到前一个节点,2/3移置到后一个节点。六节点三角形单元在三角形单元i、j、k的每一边上增加一个节点i’、j’、k’,使每个单元具有六个节点,12个自由度,采用完全二次多项式的位移模式:22uxyxxyy12345622vxyxxyy789101112第4-2节等参单元1、等参单元的概念三角形单元适应性强,易于网格划分和逼近边界形状,缺点是位移模式为线性函数,单元应力和应变均为常数,精度不理想
8、。矩形单元位移模式为双线性函数,单元应力、应变是线性变化的,精度较高,形状规整,便于自动分网;缺点是不能适应曲线边界和斜边界,不能随意改变大小。等参单元:既能很好的适应曲线边界和准确的模拟结构形状,又具有较高次的位移模式,能够反映结构的复杂应力分布情况。等参单元的基本思想:首先推导出局部坐标下的规则单元(称为母单元)的形函数,其次利用形函数进行坐标变换,从而推导出整体坐标下的不规则单元(称为子
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