等参数单元(等参元).ppt

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1、在平面问题和轴对称问题的有限元分析中，曾采用了线性位移模式的常应变三角形单元进行计算。这种单元的最大优点是：它能够机动灵活近似地表现结构的复杂边界形状；单元网格划分时，能粗细变化比较自如，因而得到广泛应用。缺点是：由于它的位移采用线性插值函数，计算精度比较低；对结构的曲线边界只能用许多小直线段逐渐逼近。特别是，在结构的应力集中部位，产生的计算误差较大，有时即使配置了极密集的单元网格，仍然不能很好地反映应力集中因子的正确数值。第三章等参数单元（等参元）§3-1等参元概念对于矩形单元，由于它采用了双线性位移模式，使得单元内的应力和

2、应变不是常量而是按线性变化，它比常应变三角形单元能较好地反映出结构的实际应力分布状态，但是它很难适应曲线边界和非正交的直线边界；同时在划分单元时，改变单元的大小也很困难，即不便于在不同部位采用大小不同的单元，因为已把每个单元的边长之半作为常量而引入单元刚度矩阵中（见式(2.48)）。因此，矩形平面单元未能在实际中得到广泛的应用。为此，我们希望找到一种单元，一方面它具有较高次的位移模式，能更好地反映结构的复杂应力分布状态，即或是单元网格划分的比较疏些，也可以得到比较好的计算精度；另一方面，它又能很好地适应曲线边界和非正交的直线边

3、界。等参元就具备了上述两条优点，因而得到广泛应用。前面已谈到：无论是三角形单元还是矩形单元，其单元内位移用形函数表示为实际上不难证明：单元内任一点的坐标同样有上述关系，即(3-1)(3-2)可见，常应变三角形单元和矩形单元内任一点的位移函数插值公式与该点的位置坐标变换式，都具有完全相同的形式。它们都是用同样个数的相应结点值（结点位移值或坐标值）作为参数，并且用完全相同的形函数作为这些结点值前面的系数项。当参数取为结点位移时就得到位移函数插值公式；当参数取为结点坐标时，就得到位置坐标插值公式（或位置坐标变换式）。常应变三角形单元

4、和矩形单元的这种位移函数插值公式与位置坐标变换式之间的对应协调关系，就是等参元的基本特征。所以，等参元的基本概念可简单概括成：一个单元的位移函数插值结点数与其位置坐标变换结点数相等，其位移函数插值公式与位置坐标变换式都用相同的形函数与结点参数进行插值者，称为等参元。显然，常应变三角形单元和矩形单元就是两种最简单的等参元。但是，本章所要研究的等参元，并不是这种单元，而是4结点任意四边形等参元和8结点曲边四边形单元。由前述知，具有双线性位移模式的矩形单元只适用于正交的、规则形状的结构。对于非正交的、不规则形状，可以用任意四边形单元

5、代替矩形单元进行有限元分割。在直角坐标系（又称整体坐标系）中，任取一任意四边形单元1,2,3,4，四边形的四个角点取为结点，各结点的直角坐标值为。对于这种任意四边形等参元，可令其实际形状所构成的单元为子单元，把子单元的各边中点连线做一个局部坐标系（或称自然坐标系），且令单元各结点的局部坐标系分别是：；；；。这样，就把子单元影射到局部坐标系上，而成为正方形单元，称此正方形单元为母单元。整体坐标系适用于所有单元，即适用于整个求解区，而局部坐标系只适用于每一个单元。§3-2四结点任意四边形等参元一．位移插值函数式及坐标变换式在子单元

6、上再作各对边的等分线，这些等分线影射到母单元上，也必然是母单元各对应边上的等分线。这样，母单元与子单元之间的相应点存在着一一对应的关系。这种对应关系说明，在母单元平面上平行于或的直线，在平面内的子单元上仍然是相对应的直线。因此，我们就可以把矩形单元的位移函数插值式(3-1)，单元内任一点的坐标变换式(3-2)，以及局部坐标变换式（类似坐标变换式），用在任意四边形等参元上，并重新写成(3-3)(3-4)(3-5)式(3-3)和(3-4)是任意四边形在局部坐标系下的位移插值函数和单元内任一点局部坐标插值公式，而式(3-5)是每个单

7、元的局部坐标系与结构的整体坐标系之间的坐标变换式。由这些公式看出，任意四边形单元符合等参元条件，它当然是等参元。由于任意四边形单元的位移插值函数(3-3)，在局部坐标系下满足形容条件，因此坐标变换式(3-5)也就满足相容条件，从而使得式(3-3)在整体坐标下满足相容条件。也就是说，在两相邻任意四边形单元公共边上的位移是连续的，坐标变换后仍然是连续的，两相邻单元公共边上的公共点在坐标变换后仍为公共点，决不会出现重叠和开裂现象。利用任意四边形等参元分析平面问题时，有了该单元的位移插值函数式(3-3)和坐标变换式(3-5)，就可以应

8、用第二章已导出的一系列公式去求解。但是，这一系列公式都是在整体坐标下导出的，其中，应变矩阵的每个元素都是各结点形函数对整体坐标进行重积分，而任意四边形等参元的形函数又是针对局部坐标的，因此需要对和进行坐标变换。这样，就引出了坐标变换矩阵和变换行列式。和的偏导数；单元刚度矩阵的