第五章-等参元单元法.ppt

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1、5.1四结点四边形等参数单元PLANE421、等参数单元的概念四结点矩形单元难以应用于斜线边界。而四结点任意四边形单元容易适应这种边界，但采用整体坐标表示的位移函数将不能满足位移协调条件，并且在计算[k]、[p]e时不容易确定积分的上、下限。为了解决这个矛盾，可以通过坐标变换将xy坐标系下的任意四边形单元变换成另一个坐标系ξη下的矩形单元。这样，矩形单元位移函数式就能用于ξη下的基本单元。2.5.5坐标变换通过进行坐标变换，使(ξ，η，ζ)坐标系中形状简单的母单元，在(x，y，z)坐标系中变换为具有曲线(面)边界的形状复杂的单元，变换后的单元称为子单元。子单元在几何上可以适应各种实

2、际结构的复杂外形。经过这样处理，单元具有双重特性：一方面，子单元的几何特征、荷载等等，都来自实际结构，充分反映了实际情况，另一方面，大量计算工作是在母单元内进行的，由于它的形状简单而且规则，计算比较方便，并便于循环，特别有利于在电子计算机上进行计算。因此兼有两方面的优点。平面坐标变换二维线性单元坐标变换公式为直线24的方程形心坐标子单元的4条边都是二次曲线，局部坐标系（ξ，η）是曲线坐标空间坐标变换经过空间坐标变换后，原来的直线将变成空间曲线，原来的平面将变成空间曲面。母单元正六面体，将变为具有曲棱、曲面的六面体子单元。例相邻单元公共边连续性验证选择坐标变换式：式中ξi、ηi是结点

3、i的局部坐标通过这一变换，两单元的点具有一一对应的关系。对于变换后的基本单元，取位移模式：单元的位移模式和坐标变换式采用等同的形函数（阶次相等），同时用以规定单元形状的结点数等于用以规定单元位移的结点数，这种单元称为等参数单元。2、单元的特性分析采用类似四结点矩形单元的特性分析，可以建立单元应变矩阵、应力矩阵、刚度矩阵、结点力向等的计算公式。但要将对整体坐标x，y的导数计算和积分计算转换为对局部坐标ξ，η的微分和积分计算。单元应变：由于Ni是ξ，η的函数，ξ，η是x，y的函数，根据复合求导规则，有：矩阵表示：式中[J]称为雅可比矩阵：由上式可得：应力矩阵：单元刚度矩阵是一个8×8的

4、矩阵，仍为由于[B]是用局部坐标系ξ、η给出，因此有：3、等效结点力计算（1）体积力：设单元的体积力为(pvx，pvy),则（2）表面力：设单元的某边（如ξ=±1）上作用有表面力（psx，psy），则5.2八结点四边形等参数单元四结点四边形等参数单元仍然不够理想。原因是：（1）实际单元为直线边界，不能准确拟合物体的曲线边界；（2）位移模式的阶次还不够高，影响计算精度。为此，下面介绍一种精度较高、应用广泛的八结点四边形形等参数单元。其实际单元和基本单元如下图所示。1、基本单元的位移模式采用形函数表示：2、坐标变换式仿照位移模式，将坐标变换式取为该坐标变换式将ξη平面上的正方形映射为x

5、y平面上的曲边四边形。xy平面上每一条边都是一条二次曲线，它由对应边上3个结点的坐标唯一确定。因此，单元是协调的，同时也可证明，单元的位移函数反映刚体位移和常应变，具有完备性。满足收敛性要求。3、单元分析单元特性分析与结点力计算过程与上节四结点等参数单元完全相同，具体公式形式也一致。区别仅在于两种单元有关矩阵的维数不同。见下表：四结点单元八结点单元{δ}8×1列阵16×1列阵[B]3×8矩阵，4个分块3×16矩阵，8个分块[k]8×8矩阵16×16矩阵面力分到2个结点分到3个结点单元应变式中：由于Ni是ξ，η的函数，ξ，η是x，y的函数，根据复合求导规则，有：矩阵表示：式中[J]称

6、为雅可比矩阵：由上式可得：应力矩阵：单元刚度矩阵是一个16×16的矩阵，仍为由于[B]是用局部坐标系ξ、η给出，因此有：3、等效结点力计算（1）体积力：设单元的体积力为(pvx，pvy),则（2）表面力：设单元的某边（如ξ=±1）上作用有表面力（psx，psy），则受内压厚壁圆筒算例作为八结点等参数单元法的应用，现考察受内压情况下厚壁圆筒的有限元解。该问题属平面应变问题，几何尺寸如图所示。由于对称性，只需将1/4区域离散成9个八结点等参数单元。材料的弹性模量E=1000，泊松比u=0.3，厚度取1.0，厚壁筒受内压为10。圆筒内半径为5，外半径为20。N-M-C。网格划分受内压厚壁

7、圆筒的径向、环向应力分布5.3二十结点六面体等参数单元由于精度高，容易适应不同边界，在平面问题中常选用八结点四边形等参数单元。与此类似，在三维问题中常选用二十结点六面体等参数单元。如下图。Solid95inANSYS四面体角锥体棱柱体1、位移模式采用与平面8结点四边形等参元类似的位移模式与坐标变换式：其形函数为：2、单元中应变子块矩阵根据复合函数求导规则，有[J]为雅可比矩阵，其表达式为：3、单元中应力4、单元刚度矩阵(60X60)5、等效结点荷载（1）体积力单位体积