矩形单元和平面等参元(bbch)

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1、1四结点矩形单元(PLANE42)(1)位移模式选择：两个，每个四项，上述的阶数为二次型，比三角形单元高，故可以更好地反映物体的应力、应变状态，得到更高的精度。它反映了单元的刚体位移和常应变，在单元的边界上位移是按线性分布的，因此，相邻单元在公共边上的位移是连续的。这样，位移模式满足了解答收敛性的充分必要条件。3.6矩形单元和平面等参元(2)形函数计算在式（3-1）中代入结点位移和结点坐标后，可解出待定系数。将这些系数再代入式（3-1），可得形函数：(3)单元应变[B]是ξ、η的函数，即是x,y的函数。因此单元

2、中的应变不再是常数。(4)单元应力：(5)单元刚度矩阵把[B]、[D]代入上式，整理后可得：(6)等效结点荷载单元的体积力和表面力。由于位移分量在x为常数及y为常数的直线上是线性变化的，因此，载荷向结点的分配也符合静力等效的原则。(7)整体平衡方程根据各单元的刚度矩阵[k]、等效结点力列阵，按对号入座的方式叠加组装整体刚度矩阵和结点荷载列阵，从而得到整体平衡方程：引入位移约束条件，解上述线性方程组可得结点位移，进而可求各单元应力。四结点矩阵单元采用较高阶的位移模式，具有比三结点三角形单元较高的计算精度。但矩形单

3、元也有缺点，一是不能适应斜线及曲线边界，二是不便于采用大小不同的单元。3.6.2四结点四边形等参数单元PLANE421、等参数单元的概念四结点矩形单元难以应用于斜线边界。而四结点任意四边形单元容易适应这种边界，但采用整体坐标表示的位移函数将不能满足位移协调条件，并且在计算[k]、[p]e时不容易确定积分的上、下限。为了解决这个矛盾，可以通过坐标变换将xy坐标系下的任意四边形单元变换成另一个坐标系ξη下的矩形单元。这样，矩形单元位移函数式就能用于ξη下的基本单元。选择坐标变换式：式中ξi、ηi是结点i的局部坐标通

4、过这一变换，两单元的点具有一一对应的关系。对于变换后的基本单元，取位移模式：单元的位移模式和坐标变换式采用等同的形函数（阶次相等），同时用以规定单元形状的结点数等于用以规定单元位移的结点数，这种单元称为等参数单元。2、单元的特性分析采用类似四结点矩形单元的特性分析，可以建立单元应变矩阵、应力矩阵、刚度矩阵、结点力向等的计算公式。但要将对整体坐标x，y的导数计算和积分计算转换为对局部坐标ξ，η的微分和积分计算。单元应变：由于Ni是ξ，η的函数，ξ，η是x，y的函数，根据复合求导规则，有：矩阵表示：式中[J]称为雅

5、可比矩阵：由上式可得：应力矩阵：单元刚度矩阵是一个8×8的矩阵，仍为由于[B]是用局部坐标系ξ、η给出，因此有：3、等效结点力计算（1）体积力：设单元的体积力为(pvx，pvy),则（2）表面力：设单元的某边（如ξ=±1）上作用有表面力（psx，psy），则3.6.3高斯（Gauss）积分法在计算单元刚度矩阵和结点载荷向量式时，由于被积函数比复杂，一般很难直接积分求出，通常采用数值积分。基本思路是：在单元上选择某些特征点（积分点），求出被积函数在这些积分点上的数值，然后用一些权函数乘这些函数值，最后求和就可得到

6、近似积分值。有限元分析中，最常用的高斯数值积分法。下面作简单介绍。一维高斯积分公式n高斯点±ξi权函数Hi20.57735031.000000030.77459670.00000000.55555560.888888940.86113630.33998100.34785480.652145250.90617980.538469300.23692690.47862870.5688889二维高斯积分公式式中积分点和权函数仍按上表采用。等参元数值积分中一般取2-3就可取得足够精度