第5章 平面矩形单元与平面等参单元

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1、李建宇天津科技大学工程中的有限元方法FiniteElementMethodinEngineering内容平面矩形单元与平面等参单元1平面矩形单元分析2等参单元的概念3平面四节点等参单元分析要求理解：平面矩形单元分析流程平面矩形单元与三角形单元的比较等参单元的目的和实现方法掌握：等参单元分析的基本思想课后作业收集、阅读平面8节点等参元分析资料回顾连续体有限元分析的基本流程整体离散单元分析单元组装引入边界条件整体解算连续体结构人工节点逼近离散单元刚度方程总体刚度方程回顾连续体有限元分析中的几次近似1.

2、逼近性离散（网格剖分）2.单元分片插值（单元分析）几何形状，特别是边界的逼近程度。插值多项式的项数的截取。3.其它回顾连续体有限元分析中的几次近似1.逼近性离散（网格剖分）提高精度的办法：减小单元尺寸改变单元形状回顾连续体有限元分析中的几次近似2.单元分片插值（单元分析）提高精度的办法：增加插值多项式的项数节点位移内部节点位移vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxo线性插值函数如何增加？增加节点一、平面矩形单元矩形单元也是常用的单元之一，由于采用了比常应变三

3、角形单元更高次数的位移模式，故可以更好地反映弹性体的位移状态和应力状态。如图所示四节点矩形单元，记单元的节点位移向量和节点力向量　　为：为了能推导出简洁的结果，在这里引入无量纲坐标：单元位移场由图可以看出，节点条件共有8个，因此，x和y方向的位移场可以各有4个待定系数，可以取以下多项式作为单元的位移场模式：它们是具有完全一次项的非完全二次项，其中以上两式中右端的第四项　　　　　是考虑到x和y方向的对称性而取的。由节点条件，在　　　　　　　　　　处，有回代，可以求解出待定系数　　　，然后整理可得其中

4、，N为单元的形函数矩阵，如以无量纲坐标系来表达，则上式可以写成其中：单元应变场根据单元的位移场函数式，由几何方程可以得到单元的应变场表达式，记为：这里，B矩阵称为几何矩阵。B矩阵可以表示为分块矩阵的形式其中注意：矩形单元的应变场为一次线性函数。单元应力场由物理方程及应变矩阵，可以得到单元的应力场表达式，其中　　　为应力矩阵，D称为弹性矩阵，对于平面应力问题，注意：矩形单元的应力场为一次线性函数。将应力矩阵表示为分块矩阵的形式其中：对于平面应变问题，只需将E换为　　　，　换为　　　。单元刚度矩阵和三

5、角形单元一样，可以根据虚功理导出节点位移向量和节点力向量之间关系，即单元的刚度矩阵　　，可以将其写成分块的形式。其中对于平面应力问题，如果单元厚度t为常数，则可得刚度矩阵的显式形式：积分得：平面矩形单元小结优点：矩形单元的应力、应变为一次线性函数，精度要比三角形三节点高；不足：实际问题很难用4节点矩形单元划分，特别是边界适合性不强；问题：能否构造一种任意四边形单元，则在提高精度得前提下，边界适应性还强？等参单元等参单元（iso-parametricelement）的概念二、平面等参单元问题：能否利

6、用规则的平面矩形单元的结果来研究不规则的任意四边形单元的计算公式？思路：任意直四边形可看成是正四边形(常称为母元)的变形，由于正四边形（母元）的位移函数、单刚矩阵均已得到，则可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。重点：1）构造任意四边形与母元间的坐标（形状）变换关系2）利用坐标变换关系和母元的计算公式，推导任意四边形的单刚矩阵（包括母元位移函数、应变矩阵、刚度矩阵转换过程中的导数、积分计算）等参单元分析范例－平面4节点等参单元1、等参变换（坐标映射）目的：建立矩形母单元与任意四边形单元的坐标映射

7、关系（i=1,2,3,4），已知：求：解法：插值代入4个角点坐标，确定系数。求出待定系数，得其中：i=1,2,3,4同矩形单元位移形函数将四角点的局部坐标代入2、等参单元位移函数从坐标变换可知,等参单元位移与母元间位移仅相差坐标变换式,而母元单元内任意点P的位移函数Ni同矩形单元位移形函数，即与坐标变换形函数相同，故得名等参单元。3、等参单元应变矩阵由几何方程，得新问题：形函数是局部坐标的函数，而局部坐标又是整体坐标的函数，故：3、等参单元应变矩阵称为雅克比矩阵，且3、等参单元应变矩阵4、等参单元

8、应力矩阵5、等参单元刚度矩阵求微小平行四边形面积注：等参单元的刚度积分一般很难有解析式，必须进行数值积分，目前普遍采用高斯数值积分法（略）。dξ，dη在（x，y）系中的分量为等参单元小结1、等参单元存在的充要条件是

9、J

10、≠0为了保证能进行等参变换(即总体坐标与局部坐标一一对应)，通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有内角大于或等于或接近180度情况。等参单元小结2、等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时，容易用很少的单元去逼近曲线边界。3、前述推导要求：保持坐标变换中几何模