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《满足初始条件求微分方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、1.求微分方程y′′=满足初始条件21+xyx=0=1,y′x=0=2的特解.解(方法1)对方程两端积分，得1y′=∫2dx+C1=arctanx+C1,1+x由条件y′x=0=2得,C1=2.所以y′=arctanx+2.两端再积分，得y=∫[arctanx+2]dx+C212=xarctanx−ln1+x+2x+C2,21将初始条件代入，得C2=1.故所求特解为12y=xarctanx−ln1+x+2x+1.2(方法2)对方程两端在区间[]0，x上取积分，xxdx∫y′′(x)dx=∫,001+x2xdxy′(x)−y′(0)=∫01+x22xdx得y′(
2、x)=∫+y′(0)01+x2=arctanx+2再取积分，得所求特解xy(x)=∫[]arctanx+2dx+y(0)012=xarctanx−ln1+x+2x+1.232.求解(1−x)y′′−xy′=0,y(0)=0,y′(0)=1;解方程中不出现y，属于y′′=f(x,y′)型，设y′=p,则y′′=p′,代入方程有2(1−x)p′=xpdpx分离变量得=dxp1−x212两边积分得lnp=−ln(1−x)+lnC124Cp=1即21−x代入初始条件y′(0)=1,得C1=1.1所以y′=p=21−x两边积分得y=arcsinx+C2代入初始条件y(0
3、)=0,得C2=0.故所求特解为y=arcsinx.5.求微分方程y′′tanx=y′+5的通解.解方程不是含未知函数y,属于y′′=f(x,y′)型.dp令y′=p,则y′′=.dx代入方程得一阶线性方程dp⋅tanx=p+5,dxdp即−cotx⋅p=5cotx.dx6∫cotxdx[−∫cotxdx]那么p=e∫5cotxe+C1=C1sinx−5,dy即=C1sinx−5.dx故所给方程的通解为y=−C1cosx−5x+C2.7.设有一质量均匀的柔软绳索,两端固定,绳索仅受重力作用而下垂,求该绳索在平衡状态下所呈曲线的方程.y解取坐标系如图.考察最低点
4、A到r任意点M(x,y)弧段的受力情况:TMθA点受水平张力HrHM点受切向张力TAρgs弧段重力大小ρgs(ρ:密度,s:弧长)ox按静力平衡条件,有8Tcosθ=H,Tsinθ=ρgs1a=H两式相除得tanθ=s()aρgy1x2故有y′=∫1+y′dxra0T1Mθ2两边对x求导得y′′=1+y′raHaAρgs设OA=a,则得定解问题:ox12y′′=1+y′ay=a,y′=0x=0x=09ydp令y′=p(x),则y′′=,rdx悬链线TMθdp1原方程化为=dxr2H1+paaAρgsoxx两端积分得Arshp=a+C1,由y′x=0=0得C1=
5、0,x2则有y′=shArshp=ln(p+1+p)ax两端积分得y=ach+C2,由yx=0=a,得C2=0axax−x故所求绳索的形状为y=ach=(ea+ea)a2102求解yy′′−y′=0.dpdpdydp解设y′=p(y),则y′′===pdxdydxdydp2dpdy代入方程得yp−p=0,即=dypy两端积分得lnp=lny+lnC1,即p=C1y,∴y′=Cy(一阶线性齐次方程)1故所求通解为y=CeC1x211.一平面曲线经过原点O，其上任一点M处的切线与横轴交于T，由点M向横轴作垂线，垂足为P,已知三角形MTP的面积与曲边1三角形OMP的
6、面积成正比（比例系数k>）,2求此曲线的方程yL:y=y(x)解设所求曲线L的方程为y=y(x)(如图)•M(x,y)那么,y(0)=0,且曲线o••xL上任意点M(x,y)处TP(x,0)的切线MT的方程为12Y−y=y′(x)(X−x).令Y=0，得到切线与x轴交点T的横坐标yyL:y=y(x)X=x−.y′y•因此，点T的坐标为（x−,0）.M(x,y)y′••oTP(x,0)x依题意，三角形MTP的面积是曲边三角形OMP面积的k倍.即1⎡y⎤x⎢x−（x−）⎥y=k∫y(t)dt.2⎣y′⎦0132yx=k∫y(t)dt,2y′0′2−2′′2yyyy
7、方程两端对x求导数，得=ky,′22(y)消去y（y=0不合题意）故所求曲线满足的微分方程2(2−2k)y′=yy′′这是y′′=f(y,y′)型的可降阶方程，142(2−2k)y′=yy′′2dydydp令=p,则=p,dxdx2dy2dp代入方程(12.37),得(2−2k)p=yp,dydy消去p（p==0不合题意），分离变量并积分dxdydp(2−2k)∫=∫,yp得(2−2k)lny=lnp−lnC.dy2−2k=p=Cy,dx152k−2于是ydy=Cdx,2k−1y=C1x+C2(其中C1=(2k−1)C).由条件y(0)=0,得C2=0,故所求
8、曲线的方程为2k−11y=C1x（k>
