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1、习题12-41.求下列微分方程的通解:(1);解.(2)xy¢+y=x2+3x+2;解原方程变为..(3)y¢+ycosx=e-sinx;解.(4)y¢+ytanx=sin2x;解=cosx(-2cosx+C)=Ccosx-2cos2x.(5)(x2-1)y¢+2xy-cosx=0;解原方程变形为..(6);解.(7);解.(8)ylnydx+(x-lny)dy=0;解原方程变形为..(9);解原方程变形为.=(x-2)[(x-2)2+C]=(x-2)3+C(x-2).(10).解原方程变形为..2
2、.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1),y
3、x=0=0;解.由y
4、x=0=0,得C=0,故所求特解为y=xsecx.(2),y
5、x=p=1;解.由y
6、x=p=1,得C=p-1,故所求特解为.(3),;解.由,得C=1,故所求特解为.(4),y
7、x=0=2;解.由y
8、x=0=2,得,故所求特解为.(5),y
9、x=1=0.解.由y
10、x=1=0,得,故所求特解为.3.求一曲线的方程,这曲线通过原点,并且它在点(x,y)处的切线斜率等于2x+y.解由题意知y¢=2x+y,并且y
11、x=0=0.由通解公
12、式得=ex(-2xe-x-2e-x+C)=Cex-2x-2.由y
13、x=0=0,得C=2,故所求曲线的方程为y=2(ex-x-1).4.设有一质量为m的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为k1)的力作用于它,此外还受一与速度成正比(比例系数为k2)的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系.解由牛顿定律F=ma,得,即.由通解公式得.由题意,当t=0时v=0,于是得.因此即.5.设有一个由电阻R=10W、电感L=2h(亨)和电源电压E=20sin5
14、tV(伏)串联组成的电路.开关K合上后,电路中有电源通过.求电流i与时间t的函数关系.解由回路电压定律知,即.由通解公式得.因为当t=0时i=0,所以C=1.因此(A).6.设曲在右半平面(x>0)内与路径无关,其中f(x)可导,且f(1)=1,求f(x).解因为当x>0时,所给积分与路径无关,所以,即f(x)=2f(x)+2xf¢(x)-2x,或.因此.由f(1)=1可得,故.7.求下列伯努利方程的通解:(1);解原方程可变形为,即.,原方程的通解为.(2);解原方程可变形为,即.,原方程的通解为
15、.(3);解原方程可变形为,即.,原方程的通解为.(4);解原方程可变形为,即.,原方程的通解为.(5)xdy-[y+xy3(1+lnx)]dx=0.解原方程可变形为,即.,原方程的通解为.8.验证形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的微分方程,可经变量代换v=xy化为可分离变量的方程,并求其通解.解原方程可变形为.在代换v=xy下原方程化为,即,积分得,对上式求出积分后,将v=xy代回,即得通解.9.用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程,然后求出通解:(1);解令u=x+y,则原方
16、程化为,即.两边积分得x=arctanu+C.将u=x+y代入上式得原方程的通解x=arctan(x+y)+C,即y=-x+tan(x-C).(2);解令u=x-y,则原方程化为,即dx=-udu.两边积分得.将u=x+y代入上式得原方程的通解,即(x-y)2=-2x+C(C=2C1).(3)xy¢+y=y(lnx+lny);解令u=xy,则原方程化为,即.两边积分得lnx+lnC=lnlnu,即u=eCx.将u=xy代入上式得原方程的通解xy=eCx,即.(4)y¢=y2+2(sinx-1)y+s
17、in2x-2sinx-cosx+1;解原方程变形为y¢=(y+sinx-1)2-cosx.令u=y+sinx-1,则原方程化为,即.两边积分得.将u=y+sinx-1代入上式得原方程的通解,即.(5)y(xy+1)dx+x(1+xy+x2y2)dy=0.解原方程变形为.令u=xy,则原方程化为,即.分离变量得.两边积分得.将u=xy代入上式得原方程的通解,即2x2y2lny-2xy-1=Cx2y2(C=2C1).
