微分几何课件第四章主曲率主方向的计算

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1、主方向和主曲率的计算一、Gauss曲率和平均曲率引理:设是puv(,)点的主曲率，则满足LEMF0MFNG,即是二次方程222(EGF)(LG2MFNE)(LNM)02的根，也就是方程20HK的根.Gauss曲率和平均曲率LG2MFNEH2，称为曲面S的平均曲率(或中2(EGF)曲率)(meancurvature)2LNMK2称为曲面S的Gauss曲率(或总曲EGF率)(Gaussiancurvature).2HHK.证明.设dudv:是对应的主方向.则有Wdrdr，即ndundvuvrdur

2、dvuu.分别用rruv,与上式两边作内积，得LduMdvEduFdv，MduNdvFduGdv.所以主方向dudv:满足(LEdu)(MFdv)0,(MFdu)(NGdv)0.(4.3)由于dudv,不全为零，可得(4.4)式.□设12,是puv(,)点的两个主曲率.由根与系数的关系可得LG2MFNE2H122，EGF2LNMK12EGF2.(4.6-7)因此22HHK，HHK.(4.9)12p点是脐点的充分必要条件是在p点成立2HK.注方程(4.4)即(4.8)是Weingarte

3、n变换的特征方程，在保持定向的参数变换下保持不变.事实上，主曲率在保持定向的参数变换下不变，在反转定向的参数变换下相差一个符号.平均曲率H(12)/2在保持定向的参数变换下不变，在反转定向的参数变换下相差一个符号.Gauss曲率K12在参数变换下保持不变.定理4.1假定曲面S是r3次连续可微的.则主曲率函数12,是连续的，且在非脐点邻近是r2次连续可微的.2H.从而由在脐点，KH0，12IIHI可知LHE，MHF，NHG，(4.3)中的两个方程成为恒等式.此时，任何方向都是主方向.在非脐点，分别用1和2代入(4.3)，得到相应的

4、主方向dudv:(MF):(LE)(NG):(MF)(4.10)1111u:v(MF):(LE)(NG):(MF).(4.11)2222将(4.3)改写成(LduMdv)(EduFdv)0,(MduNdv)(FduGdv)0.(4.12)由于1,不全为零，有LduMdvEduFdv0MduNdvFduGdv，(4.14)即22(FLEMdu)(GLENdudv)(GMFNdv)0.(4.15)上式可写成22dvdudvduEFG0.(4.16)LMN(4.14)或(4.15)或(4.1

5、6)就是曲面上曲率线的微分方程.定理4.2设p是曲面Sr:ruv(,)上一个固定点，它的曲纹坐标为(,uv00).则在该点参数曲线的切方向是相互正交的主方向，当且仅当在该点有Fuv(,)000，Muv(,)000.曲面S在该点Luv(,)Nuv(,)0000的两个主曲率分别为1Euv(,)，2Guv(,).0000证明必要性.在puv(,00)点，u-曲线和v-曲线相互正交，故Fuv(,)ruv(,)ruv(,)0.00uv0000又ruvu(,)00，ruvv(,)00是W的特征向量，故nuvu(,)00Wruvu(,)001ruvu(,)00，nuvv(

6、,)00Wruvv(,)002ruvv(,)00.分别用rruv,与上面两式作内积得Muv(,)000，并且Luv(,)Nuv(,)00001Euv(,)，2Guv(,).(4.17)0000充分性.由条件，ruvuv(,)00ruv(,)000，即ruvu(,)00，ruv(,)相互正交.又v00nuv(,)ruv(,)nuv(,)ruv(,)0.u00v00v00u00因此nuvu(,)00Wruvu(,)//(,)00ruvu00，nuvv(,)00Wruvv(,)//(,)00ruvv00，即ruvu(,)00，ruvv(,)00是W的

7、特征向量.□定理4.3参数曲线网是正交的曲率线网的充分必要条件是FM0，此时2222IEduGdv,IIEduGdv.12定理4.4在非脐点，定理4.3中的参数曲线网局部总是存在的.二、Weingarten变换在自然基底下的矩阵我们知道rruv,是切空间TSp的基，称为TSp的自然基.在这组基下，设Weingarten变换的矩阵为aa1121Aaa1222即aa1121