2.1 曲线与方程 (1)

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1、2.1曲线与方程一、选择题（共15小题；共75分）1.在点A4,4，B3,4，C−3,3，D2,26中，在曲线x−12+y2=25上的点有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列方程的曲线关于y=x对称的是()A.x2−x+y2=1B.x2y+xy2=1C.x−y=1D.x2−y2=13.已知曲线ax2+by2=2经过点A0,2和B1,1，则a，b的值为()A.12，32B.32，12C.−32，32D.12，−324.方程x−22+y+22=0表示的图形是()A.圆B.两条直线C.一个点D.两个点5.方程x2

2、+xy=x的曲线是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线6.下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是()A.y=x与y=x2B.x−12+y+22=0与x−1y+2=0C.y=1x与xy=1D.y=lgx2与y=2lgx7.如图所示的曲线方程是A.x−y=0B.x−y=0C.xy−1=0D.xy−1=08.曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是()A.y2=8−4xB.y2=4x−8C.y2=16−4xD.y2=4x−169.方程x2−42−y2−42=0表示的图形是()第5页（共5页）A

3、.两条直线B.四条直线C.一个圆D.两条直线和一个圆10.直线y=2k与曲线9k2x2+y2=18k2x（k∈R，且k≠0）的公共点的个数为()A.1B.2C.3D.411.方程y=x2−2x+1所表示的曲线是()A.两条直线B.两条射线C.一条直线D.一条射线12.若曲线C上的点的坐标都是方程fx,y=0的解，则下面判断正确的是()A.曲线C的方程是fx,y=0B.以方程fx,y=0的解为坐标的点都在曲线C上C.方程fx,y=0表示的曲线是CD.方程fx,y=0表示的曲线不一定是C13.曲线x2+2y2−2mx=

4、0按a=−2,0平移后，得到曲线x2+2y2=4，则m的值是()A.2B.−2C.4D.−414.方程2x+yx+y−3=0与4x+2y+12x−y+1=0所表示的两曲线的公共点个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个15.在同一直角坐标系中，方程ax2+by2=ab与方程ax+by+ab=0表示的曲线可能是()A.B.C.D.二、填空题（共5小题；共25分）16.曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2−4x−5=0的交点的个数是．17.方程x+2y+1+2x−y+3=0表示的图形是．第5页（共5页）18.若圆

5、x2+y2−2ax+a2−1=0与抛物线y2=12x有两个公共点，则a的取值范围是．19.若实数x，y满足2x2+y2=3x，则曲线2x2+y2=3x上的点x,y到原点距离的最大值为，最小值为．20.关于x2+y4=1所表示曲线的描述：①该曲线是中心对称图形；②该曲线是轴对称图形；③点Pcosθ,sinθ可能在该曲线外部；④该曲线围成的图形的面积小于或等于π；⑤该曲线围成的图形的面积一定大于π．以上说法正确的是：（只需填上正确命题的题号）．三、解答题（共3小题；共39分）21.方程1−x=1−y表示的曲线是什么图形

6、？22.已知α∈0,π，试讨论当α的值变化时，方程x2sinα+y2cosα=1所表示曲线的形状．23.设0<θ<π2，曲线x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ−y2sinθ=1有4个不同的交点．(1)求θ的取值范围；(2)证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．第5页（共5页）答案第一部分1.C2.B3.B4.C5.C6.C7.B8.C9.D10.D11.B12.D13.A14.C15.A第二部分16.117.点−75,1518.a=178或−1

7、程可化为1−y=1−x,1−∣x∣≥0,即y=x,x≤1,即方程表示的图形是两条线段．22.(1)①当α=0或π2时，方程表示两条平行直线y=±1或x=±1；②当0<α<π4时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；③当α=π4时，方程表示圆；④当π4<α<π2时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；⑤当π2<α<π时，方程表示焦点在x轴上的双曲线．23.(1)两曲线的交点坐标x,y满足方程组x2sinθ+y2cosθ=1,x2cosθ−y2sinθ=1,即x2=sinθ+cosθ,y2=cosθ−sinθ.有4个不同交点等价于x2

8、>0且y2>0，即第5页（共5页）sinθ+cosθ>0,cosθ−sinθ>0.又因为0<θ<π2，所以得θ的取值范围为0,π4．23.(2)由（1）的推理知4个交点的坐标x,y满足方程x2+y2=2cosθ0<θ<π4，即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为r=2cosθ0<θ<π4．因为cosθ在0,π4上是减函数，所以由cos0=1，cosπ4=