函数的奇偶性与反函数

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1、函数的奇偶性与反函数教师：苗金利第5讲函数的奇偶性与反函数一、函数的奇偶性1、奇函数、偶函数的定义一般地，如果对于函数f()x的定义域内任意一个x，都有f()−xf=−()x，那么函数f()x就叫做奇函数（oddfunction）；如果对于函数f()x的定义域内任意一个x，都有f()()−xfx=，那么函数f()x就叫做偶函数（evenfunction）.如果函数f()x是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f()x具有奇偶性.注意：（1）一个函数有奇偶性的必要条件是它的定义域关于原点对称.（2）函数不一定具有奇偶性.

2、（3）函数的奇偶性是整个定义域上的性质.（整体性质）说明：常数函数的奇偶性：（1）fxcc()(0)=≠⇒偶函数（2）fx()0=⇒奇且偶函数fx()当心：判定奇偶性时，灵活应用等价形式，如：fxfx()±()1−=，±等。fx()−2、函数的奇、偶性与函数的图象：函数f()x是奇函数⇔函数图象关于原点对称；函数f()x是偶函数⇔函数图象关于y轴对称.例1、判断下列函数的奇偶性：3（1）yxx=+2；（2）yx=+−−11x；2⎧xx+21(0−>x)2⎪（3）yxx=++1；（4）fx()=⎨0(x=0)；⎪2−

3、xxx++<21(0)⎩-第1页-版权所有北京天地精华教育科技有限公司www.jinghua.com咨询电话：400-650-77662221−x（5）fx()=−+−1xx1；（6）fx()=.x+22−例2、已知f()x，g()x均为奇函数，且定义域相同.求证：f()x+g()x为奇函数，f()xig()x为偶函数.推广：f()x，g()x一奇一偶或者同为偶函数时结果又如何？2例3、（1）已知偶函数f()x的定义域是R，当x≤0时，f()xxx=−−31，求f()x的解析式.2（2）已知奇函数g()x的定义域是

4、R，当x>0时，g()xxx=+−21，求g()x的解析式.例4、任意一个定义域关于原点对称的函数f()x均可表示为一个奇函数和一个偶函数的和.-第2页-版权所有北京天地精华教育科技有限公司www.jinghua.com咨询电话：400-650-7766例5、函数f()x满足fxyfxy()()++−=2fxfyx()()(,)∈∈RRy，且f(0)≠0，判定函数f()x的奇偶性.例6、四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自

5、饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）A．h2＞h1＞h4B．h1＞h2＞h3C．h3＞h2＞h4D．h2＞h4＞h1引申：用草图表示从上述四种容器底部匀速流出酒时，高度h与时间t的函数图象。（渗透凹凸性）2a例7、若函数fxx()=+∈(aR)，则下列结论正确的是（）xA．∀∈aR，f()x在(0,+∞)上是增函数w.B．∀a∈R，f()x在(0,+∞)上是减函数C．∃∈aR，f()x是偶函数D．∃a∈R，f()x是奇函数例题8、函数f()x的定义域为R，

6、若fx(1+)与fx(1−)都是奇函数，则（）A．f()x是偶函数B．f()x是奇函数C．fxfx()=+(2)D．fx(3+)是奇函数二、反函数−1设yfxxAyB=∈()(,∈)，则x=∈fyxByA()(,∈)是反函数.说明：（1）求反函数的步骤：−1−1①判定②反解x=fy()③改写yfx=()-第3页-版权所有北京天地精华教育科技有限公司www.jinghua.com咨询电话：400-650-7766（2）反函数的定义域、值域是原函数的值域、定义域.（3）原函数与反函数的图象关于yx=对称，且具有相同的单

7、调性（单调区间不一定相同），奇函数如果存在反函数，其反函数一定是奇函数.例9、（1）函数yx=−(0x≤)的反函数是（）22A．y=x(0x≥)B．y=−x(0x≥)22C．y=x(0x≤)D．y=−x(0x≤)−1（2）已知yxxx=+2，求f()x2−1（3）设P(1,2)在fxaxbx()=+≥(0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f()x例10、求值域：（1）yx=−−12xabx+（2）ya=>(0b>),1x∈[]−,1abx−2xx−+1（3）y=2x++x1说明：函数的值域（1）函数的值域受定义域

8、和对应法则的限制.（2）求值域的常见方法：配方法、反函数法、判别式法、换元法、函数的单调性等.-第4页-版权所有北京天地精华教育科技有限公司www.jinghua.com咨询电话：400-650-7766参考答案一、函数的奇偶性33例1（1）解：∵x∈R关于原点对称又f()2−=−+−=−+=−xxxxxf(2)()x∴()fx为奇函数（2）解：x∈R关于原