反函数与函数的图像变换

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1、反函数与函数的图像变换一、反函数当一个函数是一个一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。比如，指数函数与对数函数互为反函数。函数的反函数用表示。设函数的值域是C，根据这个函数中的关系，我们可以用y把x表示出来，得到，若对于y在C中每一个值，都只有唯一的与它对应，那么就表示以y为自变量，x为因变量的一个函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成。是对应法则，是表示反函数的符号，是一个整体。表示的对应是的逆对应，。也是的反函数，、互为反

2、函数。只有当是一一映射时，才有反函数。特例：，，，一般：，，。例1求下列函数的反函数：（1）；（2）。二、互为反函数的两个函数的性质：指数函数与对数函数的图像关于直线对称。根据反函数的定义，如果点在函数上，则点在函数上，从而可知函数的图像与函数的图像关于直线对称。指数函数与对数函数都是增函数，一般的，与的单调性一致。例2函数反函数是自己本身，请写出一个这样的函数。思考：若函数是奇函数，且有反函数，那么是奇函数吗？奇函数一定有反函数吗？偶函数呢？三、函数的图像变换1、平移变换（1）左右平移：的图像，可由的图像向左（+）或向右（—）

3、平移a个单位得到。口诀：左加右减。（2）上下平移：的图像，可由的图像向上（+）或向下（—）平移a个单位得到。口诀：上加下减。例3画出函数的图像，并指出其对称中心。例4已知函数，方程有两个实数根，则必有（）。A．B．C．D．2、对称变换（1）的图像与的图像关于y轴对称；（2）的图像与的图像关于x轴对称；（3）的图像与的图像关于原点对称；（4）的图像可将的图像在x轴下方的部分，以x轴为对称轴翻折上去，其余部分不变，这是局部的变换；（5）的图像可将的图像做出来，再利用偶函数的图像关于y轴对称，做出的部分，这也是局部变换。例5画出函数的

4、图像，并写出单调区间。3、自对称函数（1）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；（2）如果，则的图像关于直线对称。特例：若，则是偶函数。另外，这里是常数，但是若，这时是常数，这说明是周期函数，不压迫混淆。（3）如果，则关于点对称。特例：若，则是奇函数，对称中心是原点。例6已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数，若方程在区间上上有四个不同的根，则。综合例题：1、（全国Ⅱ－文）函数的反函数是（）。A．B．C．D．2、（2008高考四川延考卷）设函数的图像关于直线及直线对称，且时，，则（　　）。A．　　B．　　C

5、．　　D．3、（福建－理、文）已知函数的反函数是，则函数的图象是（）。4、（湖南－理）设是函数的反函数，若，则　的值为A．1B．2C．3D．5、（全国Ⅳ－文）为了得到函数的图象，可以把函数的图象A．向左平移3个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度6、设方程的两个根为，则()（A）（B）（C）（D）练习：1、（全国Ⅲ－文）记函数的反函数为，则（）A．2B．C．3D．2、（上海－文）若函数的图象与函数的图象关于直对称,则()。A．10x-1.B．1-10xC．1-10-xD．10-x-1.

6、3、（2009北京文理）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4、（2009全国卷Ⅱ文）函数y=的图像A．关于原点对称B．关于主线对称C．关于轴对称D．关于直线对称5.（2009福建省）函数的图象大致是()6、(银川一中2009届高三年级第一次模拟考试)设函数。（1）画出函数的图像；（2）若不等式，恒成立，求实数x的范围。