1-15线代1.1-1.2

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1、第一章行列式行列式是为了求解线性方程组而引入的，但在线性代数和其它数学领域以及工程技术中，行列式是一个很重要的工具。本章主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法。第一章§1.1二阶与三阶行列式§1.2排列及其逆序数§1.3行列式的定义§1.4n阶行列式的性质§1.5行列式按行（列）展开§1.6Cramer法则§1.7概要与小结说明一.二（三）阶行列式二.排列及逆序数行列式概念的引进与形成三.n阶行列式的定义四.行列式的性质行列式的基本性质及计算方法五.行列式按一行（列）展开六.克拉默Cramer法则利用行列式求解线性方程组一.行列式概念的形成与引进问题的提

2、出：求解二、三元线性方程组引出二阶、三阶行列式1.二阶行列式axaxb1111221由Gauss消元法a21x1a22x2b2aaxaaxba1121112212121a11a21x1a11a22x2a11b2(aaaa)xbaba得112212211122212(aaaa)xbaba112212212211121于是，当aaaa0时，方程组有唯一解11221221axaxb1111221ax211ax222b2这就是二元线性方程组(aaaa)xbaba的公式解，但是非常不112212

3、211122212易记忆，为了便于记忆，(aaaa)xbaba需引进新的记号112212212211121baba122212x1aaaaaa111211221221引进记号：Daababa2122x2111212aaaa11221221称之为二阶行列式，并规定：aa1112aaaa11221221aa2122主对角线副对角线12例如：1423234主对角线上的乘注：此规则称为沙流氏规则积－副对角线上的乘积从而对于下式中的分子：baba122212x1aaaa11221221babax

4、2111212aaaa11221221baab112baba,111D1122212D2ba211ba121baab222212于是当D0时上述方程组有简洁公式解为：DDx1，x212DDaa1112D二阶行列式（是表达式，a21a22方程组的系数行列式）其中，数aij(i1,2;j1,2)称为元素i为行标，表明元素位于第i行j为列标，表明元素位于第j列注：(1)二阶行列式算出来是一个数。aa1112aa(2)2122记忆方法：对角线法则或称“沙流氏规则”主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积2.三阶行列式类似地，讨论三元线

5、性方程组（有三个方程、三个未知量）axaxaxb1111221331axaxaxb2112222332a31x1a32x2a33x3b3利用消元法，可以得到(aaaaaaaaaaaaaaaaaa)x1122331223311321321123321221331322311baaaabababaaabaaab122331223313232123321223313223这些就是三元线性方程把x1的系数记为d，则当d0时，有：组的公式解，同样非常不易记忆，为了便于记忆，需引进新的记号1x(baaaababa

6、baaabaaab)1122331223313232123321223313223d类似可以解得：1x(ababaaaabaabbaaaba)2112331233113213112331213313231d1x(aabababaaabaaabbaa)3112231223112132112321221312231daaa111213为此，引进三阶行列式：Daaa,这么复杂，很212223难记住的呀aaa313233aaa111213并规定：a21a22a23aaa112233aaa122331aaa132132a31a32

7、a33aaa132231aaa122133aaa112332可以根据对角线法则来记忆，主对角线方向符号是正的，副对角线方向符号是负的。aaaaaaaaaaaa111213112233122331132132aaaaaaaaaaaa212223132231122133112332＋－－a31a32a33＋－＋方法1：对角线法则或称“沙流氏规则”现在分别用方程组的常数项来代替D的第1、2列、3列得到：b1a12a13a11b1a13aab11121D1b2a22a23D2a21b2a23Daab321222b3a32a33a31b3a33a

8、ab31323按照三阶行列式的规定，可以发现三者恰为