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1、全全国国第第三三届届研研究究生生数数学学建建模模竞竞赛赛题目B高精度参数估计模型摘要本问题是基于非线性最小二乘模型的高精度参数估计问题。本文的主要工作：ò问题一，求解微分方程组，得到两生物数目的隐式方程式。基于此方程，利用已知无误差数据和已知参数值求解各未知参数。ò问题二，利用3组无误差数据，同时考虑时间数据和生物数目数据，基于两生物数目的隐式关系式，采用最小二乘思想，使得观测数据和待估参数确定的生物数目相差最小，优化求解，确定参数。ò问题三，建立基于数据去噪的非线性最小二乘模型求解，对问题二的模型进行了改进。ò问题四，
2、建立含时间项随机误差的回归模型，转化成非独立等精度测量情况下的最小二乘模型求解。ò结果分析给出了数据的合理性和详细的误差分析。模型进一步讨论中给出了已知4组无误差观测数据确定参数和基于小波、卡尔曼滤波去噪的讨论等。本文有显著特色的部分：ò问题二的已知3组无误差数据的参数估计模型。ò问题四的含时间项随机误差的回归模型。本文的主要结果：问题1α=-2.00001342132306α=0.20000000000000α=12.00041647606646残差平方和123Data1α4=-1.00004224667343α5=2
3、8.61941892165365α6=17.89017646616452F()16.31567300894939α=问题2α=19.83210333976209α=-1.98530298043138α=-120.2422022440551残差平方和123Data1α4=10.10296514372900α5=10α6=60F()α=0.00491692341215问题3α=2.00123209789839α=-0.09996876936554α=-9.98769998433421残差平方和(去噪后)123Data2α4=
4、0.99863482054801α5=12.96772664617000α6=72.09204927975907F()α=7.46971096482741问题3α=2.00289418209594α=-0.10039501541225α=-9.99119481206768残差平方和(去噪后)123Data3α4=0.99838916494643α5=13.01575066633349α6=71.90894897013561F()12.19771612888657α=问题4α=2.00361748188297α=-0.10
5、015617233599α=-9.97911369047103残差平方和(去噪后)123Data4α4=0.99826825372794α5=12.97658899442986α6=72.05004594555341F()16.31567300894939α=注：t作为任意给定初始时刻,问题1中，取t=0.15;其他问题中为方便计，取t=0.000参赛密码参赛队号90002004（由组委会填写）1问题分析1.1问题一分析这是著名的食饵—捕食模型，通过化简，可以转化成x和y的常微分方程。简单移项后，发现这是全微分方程，存在
6、隐式通解，这样就能找到x和y的不含导数的关系式，当然此时含有一个积分常数（本文记为C）。根据已知的无误差的数据，列出关于待估系数α,,,ααα和C的线性方程1234组。它含有6个方程，但是系数矩阵不是列满秩的，只能得到α,,,ααα和C的1234线性关系。又已知α，那么就可以确定出其它未知参数。2对于t时刻的值α,α，只要给出t的具体值，就可以通过Runge—Kutta方0560法求解以t=0时刻为初值的微分方程组得到α,α。56盲目的指定α=1/5到底合理不合理？通过对求出的参数进行仿真，发现拟2和效果不好，这说明认为
7、指定α的值是不合理的。同时注意到，数据中的时间2数据没有在求解中体现，而Runge—Kutta方程是含有时间步长的，显然这样的求解存在问题。这正是问题二的前奏，合理利用生物数目数据和相应的时间采样数据，一定能更好的确定待估参数。1.2问题二分析从考察包含α,,,ααα和C的线性方程组入手，如果有多于4组的数据，1234就可以得出α,,,ααα关于C的线性关系，但是由于方程组的齐次性，无论怎1234样也不可能通过这些线性方程组求解出这5个参数的非零值。所以多于4组的无误差数据根4组无误差数据对本问题来说是一样的。给定C一个
8、值，就能确定出α,,,ααα的一组值，然后就可以通过Runge1234—Kutta方法求解微分方程组；如果在t处得到的数值解和已知数据在t处的值ii相差足够小，就找到了一组参数值。此处是最小二乘意义下的相差“足够小”，但这是非线性问题，要通过最优化计算求解。如果这样的参数值只有唯一的一组，那么就说明这组数据确定了待估
