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1、6.3模型的参数估计数学建模的一个重要工作是建立变量间的数学关系式,但公式中几乎总是涉及一些参数.如用下面三个数学式描述肥素的施肥水平对土豆产量的影响：要得到最终可应用于实际的经验模型，必须确定公式中的各个参数求模型中参数的估计值有三种常用方法：图解法、统计法、机理分析法。对经验模型的精度要求不高,只需对参数做出粗略估计时可采用图解法.例6.3.1磷施肥量与土豆产量的关系式需估计三个参数A、B、C,观察图7.3，数据点都位于直线y=43的下方，并且数据点越来越靠近这条直线，可以估计A=43.1．图解法例6.
2、2.2(见P158例7.2.1)表中给出了12月1日(星期二)和12月2日(星期三)两天内的海浪潮高度值(相对于海堤上的零标尺记号,以米为单位),能依据此表来预测12月5日(星期六)下午1:00的海浪高度值吗？分析根据对数据散布图的分析,采用函数需估计振幅a和频率b.解决方法：直接量出高低浪之间的高度差为6.6米，量出海浪变化周期约为12.3小时得经验模型将频率的估计代入(2)式,有代入x(0)=c=2.4及x(23)=3.6得关于海浪潮随时间变化的另一经验模型模型应用预测12月5日下午1:00的海浪潮高度
3、为x(109)=2.4cos(5.11×109)－2.7sin(5.11×109)=2.4cos(55.7)－2.7sin(55.7)=2.4cos(5.430－2.7sin(55.7)≈3.6(米).误差分析这一时刻潮位的实际观察值为4.1米,相对误差大约是12%,请考虑一下成因.仔细分析图5.5,可发觉图中(1)x=0似乎不是海浪高低潮位的中值;(2)振幅随时间的延续似乎在轻微地增大.思考怎样考虑这些细节来修改模型,以获得更准确的预报呢？2.统计法参数估计的统计处理,往往运用最小二乘法估计.设有一组样本
4、值:对选定的一元回归函数,回归模型为～N(0,σ2),为模型的残差平方和.应选取μ(x)中的未知参数,使S达最小值当回归函数为μ(x)=a+bx，回归模型～N(0,σ2)称为一元线性回归模型,其残差平方和为对S分别求关于a,b的偏导数,并令其等于零得线性方程组如下：整理得正规方程(组)如下：求得解其中一元线性回归模型参数估计公式部分非线性回归函数经变量代换可化为线性函数,利用线性参数估计公式进行估计,如例6.3.1磷施肥量和土豆产量的回归函数选为对数据进行相应变换,可估计出得到磷施肥量和土豆产量的经验公式分
5、析有例6.3.2若用威布尔函数作为磷施肥量和土豆产量的回归函数与目测法的结论惊人一致.相对于新变量x，lnz,这是一元线性函数.特点：统计分析法应用于变量间存在相关关系的情形,并且需要较多数据为基础.3.机理分析法通过对问题的内部机理进行分析,找出变量间的因果关系,从而确定出参数.两边取对数,有例6.3.3录像机磁带计数器模型在一台录像机上有一个四位数字的记数器.1.在磁带开始运行时设置为“0000”，“180分钟”结束时显示读数为“1849”,实际所花的时间为185分20秒.2.记数器从“0084”转到“
6、0147”时用了3分21秒的时间.现在记数器上显示为“1428”,问余下的磁带是否足够再记录60分钟长的节目？已建立经验公式其中w—录象带的厚度；r—转动轴半径；v—转动速度；k—显示读数和旋转周数的比例系数.通过进一步分析简化模型,使所含的未知参数尽可量少,用很少的几个数据求得参数的估计值.上式化为可利用的数据如下时间t0t1t1+3.35185.33读数n(t)0008401471849t=0，n=0是模型的初始条件,将后三组数据代入得关于t1,α与β的三元方程组注1.由于数据个数太少,不能用统计法估计
7、参数；2.这里采用机理分析法求参数的估计值,可利用的数据个数已是允许的最少个数了.
