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1、信度保费：ZX+−(1Z)µ信度模型的参数估计nZn==(Buhlmann-Straub),观察年数nva+/mZm==(Buhlmann-Straub),各年的风险单位数之和mva+/孟生旺中国人民大学统计学院问题：在Bühlmann-Straub模型中，如何确定µ，v和α的值？上述未知参数通常称作结构参数（structuralparameters）。12符号和假设：r：保单持有人（个体风险）的个数Xij
2、Θi：相互独立，分布函数为fxXij
3、Θ(
4、)ijθi,j=1,…,niXij：保单持有人i在第j年，平均每个风险单位的损失（i=1,…,r）
5、。不同保单持有人的损失相互独立。mij：保单持有人i在第j年的风险单位数。ni：对保单持有人i的观察年数θi：保单持有人i的风险参数，是随机变量Θi的观察值，nimmii=∑j：保单持有人i在过去各年的风险单位数总Θ（i=1,…,r）独立同分布。j=1i和。34被观察年份保单持有人i平均每个风险单位的损失：保险20012002200320041ni人Xii=∑mXjij,=1,...,irmij=1XXXX平均每个风险单位的损失111213141所有保单持有人在过去各年的风险单位数总和：mmmm风险单位数11121314rrniXXX平均每个风险单
6、位的损失212223mm==∑∑ii∑mj2ii==11j=1mmm风险单位数212223所有保单持有人在过去各年平均每个风险单位的损失：141343X11=∑mXjj1X22=∑mXjj2mmm=+∑∑12jj11rrni4j=13j=1jj==11X=∑∑mXii=∑mXijijmmii==11j=112X=∑mXii5mi=161µ=ΘE[(µi)]集体保费注意：vv=ΘE[(i)]过程方差的均值（组内差异）如果保单持有人i在下一年的风险单位数为min,1i+，则其a=ΘVar[(µi)]假设均值的方差（组间差异）信度保费为假设结构参数的估计
7、值为µˆˆˆ,,va，则保单持有人i在下一mZ⎡ˆˆXZ+−(1)µˆ⎤in,1i+⎣iii⎦年的信度保费为即使vaˆˆ,是v和α的无偏估计，并不能保证kˆ和Zˆ是kZXˆˆ+−(1Z)µˆiii和Z的无偏估计。其中Zˆ=miˆvˆiˆk=mk+aˆi78（1）µ的无偏估计：µˆ=X⎛⎞rn1rn1EX()=E⎜⎟∑∑Xij=∑∑EX()ij⎝⎠rnij==11rnij==11Bühlmann模型的结构参数1rn1rn=∑∑EEX⎡⎣(
8、)ijΘ⎤⎦=Θ∑∑E[]µ()irnij==11rnij==111rn=∑∑µ=µrnij==11故µ的无偏估
9、计为µˆ=X，即为风险集合平均每个风险单位的损失。910（2）v的无偏估计而还是vˆv的无偏估计，即i对于给定的风险Θ=iiθ，Xii1,...,Xn相互独立，故Ev()ˆˆii=EEv[(
10、)Θ=ii]Ev[()Θ=]v1n对求平均，还可以得到vˆv的另一个无偏估计：ˆ()2ivXii=−∑jXin−1j=1r是1vvˆˆ=∑ir（组内方差）vV()θ=Θar(
11、X=θ)i=1iiji的无偏估计。111221rvˆv2因此，对方差VarX()=a+的一个无偏估计为（3）a的无偏估计aXˆ=−∑()iX−inrn−1i=1因为1rnn()X−X21
12、1∑iEX(
13、iiiΘ=θ)=∑∑EX(
14、ijiiΘ=θµ)=()()θi=µθir−1i=1（样本方差）nnjj==11故而即⎡⎤1rvEX=ΘEEX⎡⎤=E[]µΘ=µ2()ii⎣⎦(
15、)ii()EX⎢⎥∑()i−X=+a⎣⎦rn−1i=1VarX()=ΘVarEX⎡⎤(
16、)+ΘEVarX⎡⎤(
17、)而v的无偏估计为vˆ，即vEv=()ˆ，因此上式可变形为ii⎣⎦ii⎣⎦i⎡⎤vv()Θ⎡⎤1(rEvˆˆ)⎛⎞v=ΘVar[]µ()+Ei=a+2i⎢⎥nnEX⎢⎥∑()i−=Xaa+=+E⎜⎟⎣⎦⎣⎦rn−1i=1⎝⎠n可见，X,...,X具有相
18、同的均值和方差。1r1314Buhlmann模型的结构参数估计（小结）⎡⎤1r⎛⎞vˆaE=−()XX2−E⎜⎟r⎢⎥∑i1⎣⎦rn−1i=1⎝⎠µˆ==XX∑iri=1从上式可得a的一个无偏估计为rn112vvˆˆ=∑ivXˆii=−∑()jXiri=1n−1j=11rvˆˆ()2aX=−∑iX−rn−1i=11rvˆˆ()2aX=∑i−−Xrn−1i=11516（4）例X=1(357)++=513假设：1（假设均值）X=(6129)9++=23风险集合中只有两个个体风险：r=21µˆ=X=+=(59)7（集体保费，总均值）对每个风险的观察期均为
19、3年：n=321222vˆ=⎡⎤(35)−+−+−=(55)(75)4第一个风险的经验损失：3,5,71⎣⎦31−1222
