第三章 金属自由电子理论

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1、第三章金属自由电子理论FreeElectronicTheoryofMetals3.0引言一、基本内容经典电子理论及其局限性量子自由电子理论态密度及费米面金属的接触势差电子比热二、学习要点掌握量子理论的提出过程掌握态密度的求法熟练掌握费米面的概念3.1自由电子的经典理论德鲁得（Derude）理论的基本假定金属中的价电子可以看成是自由电子，即电子所受的势函数为常数；电子－电子，电子－晶格之间存在瞬间弹性碰撞；弛豫时间假定这是最简单的金属键模型3.1自由电子的经典理论德鲁得（Derude）理论关于金属电导率的理论

2、处理Erv按弛豫时间近似：mv=−eEτdvsurEvJ==σEwhereρ=resistivityρσ=conductivityrrvtJ=nevdwheren=carrierdensityv=driftvelocityd单位时间：t=1mρ=whereτ=scatteringtime单位面积：s=12neτ-7Driftvelocityvdisnetmotionofelectrons(0.1to10m/s).Scatteringtimeτistimebetweenelectron-latticecollisions.3.

3、1自由电子的经典理论德鲁得（Derude）理论的困难Temperaturedependenceofresistivity.FEmaEmee1ρ====∝()2Jnevneaτnenτdτ•Metal:ResistanceincreaseswithTemperature.•Why?↑Temp⇒↓τ,nsame(same#conductionelectrons)⇒↑ρ•Semiconductor:ResistancedecreaseswithTemperature.•Why?↑Temp⇒↓τ,↑n(“free-up”carrier

4、stoconduct)⇒↓ρ3.2自由电子的量子理论2一、波函数与能级h2薛定谔方程：−∇ψ=Eψ2mrrrik⋅r平面波形式的解:ψ(r)=ψe0rr其中r为电子的位置矢量，k为波矢量.h2k2rrE=p=hk2m上面讨论的是无任何限制的自由电子的性质，它的动量具有确定值，速度与波的群速度一致，而坐标不受任何限制，电子在空间各电出现的几率相等.在金属的自由电子论中，电子的势能为零，但它不完全自由，它的位置受金属边界的限制.3.2自由电子的量子理论一、周期性边界条件rrψ(r+L)=ψ(r)−−−(1)周期性边界条件：xL=Na

5、rrx11ψ(r+L)=ψ(r)−−−(2)yL=Nay22rrψ(r+L)=ψ(r)−−−(3)zL=Nax33将周期性边界条件（1）式与金属电子的波动方程联立得：ikL2πexx=1k=n,n=0,±1,±2,LxxxLx2πk=n,n=0,±1,±2,LyyyL同理有：y2πk=n,n=0,±1,±2,LzzzL222n22z2πhnxynz能级E=(2+2+2)mLLLxyz3.3费米面与态密度一、费米面电子气中的粒子满足泡利不相容原理，服从费米—狄拉克统计，在平衡时，能量为E的能级被电子占据的几率为：1fE()=E−μ

6、—Fermi-Dirac分布kTBe+1其中：μ为电子的化学势,一般称绝对零度下的电子化学势为费米面T=0K时，μ＝Ef(E)FEFEEfE>=:()0状态全空1F••EEEfE<=:()1状态全被占据••FF••••••••••••E3.3费米面与态密度二、费米面的物理意义费米能级在k空间的等能面－费米面；绝对零度下，金属中电子态被占据和未被占据的能级分界面；费米能级是绝对零度下电子的化学势；自由电子的费米面为球面。特别提示：1f(E)=有些教科书、专著或文章中，将任何温度下的电子化E−EF学势均称为费米面，此时费米能

7、级是温度的函数，而kBTe+1－绝对零度下的费米能级记为：E0Fa.kT=0b.kBT=1c.kBT=2.5BkT=0B⎧1E<EF⎪⎩0E>>EF⎪⎩0E>>EF费米分布曲线3.3费米面与态密度三、费米面计算方法及态密度1系统中的电子总数：N=∑EE−FEkTeB+1∞Nf=∫()()EgEdE00EF=∫gEdE()0g(E)是电子的态密度－－十分重要3.3费米面与态密度四

8、、态密度3.3费米面与态密度五、自由电子气体的态密度和费米面对于自由电子，等能面是球面，由上述分析可得g()E11V2m3gE()==c()22ECE2222πhV2m3其中C=c()2E22h2Oπ∞023自由电子的状态密度曲线EF102N=(E)dE=CE2