金属自由电子气模型

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1、第四章金属自由电子气模型1900年，德鲁德（P.Drude）将金属中自由电子视为经典气体，解释了金属的电、热、光效应，即为“自由电子理论”1928年，索末菲（A.Sommerfeld）将费米-狄拉克统计应用于电子气，即为“量子自由电子理论”同年，布洛赫、布里渊等研究周期场中电子行为，提出了固体的“能带理论”本章内容模型和基态性质自由电子的热性质泡利顺磁性电场中的自由电子光学性质霍尔效应和磁阻金属的热导率自由电子气模型的局限性第一节模型和基态性质自由电子模型的两条假设忽略电子和离子实之间相互作用，将离子实看成保持体系电中性的均匀正电荷背景，也称为“凝胶模型”忽略电子

2、和电子间的相互作用，即“独立电子近似”——自由电子近似特征参量：电子数密度NA：Avogadro常量Z：每个原子提供传导电子个数rm：固体体密度A：固体摩尔质量na：单胞中的原子数Z：每个原子的价电子数即：电子平均占有半径：将每个电子平均占有的体积等效成球，则同样是自由电子，在不同的金属中(不同的正电背景下)，rs不同。金属性越强，rs越大。(rs/a0)>1，表明等效球已将原子核包在球内了。rs意味着平均每个电子占据的空间，忽略了离子实的存在，即自由电子近似模型。在用模型讨论问题时，rs和n是关键量。元素n/1022cm-3rs10-1nmLi4.701.723

3、.25Na2.652.083.93K1.402.574.86Rb1.152.755.20Cs0.912.985.62Cu8.471.412.67Ag5.861.603.02Au5.901.593.01Be24.70.991.87Mg8.611.412.66Ca4.611.733.27Zn13.21.222.30Al18.11.102.07In11.51.272.41Sn14.81.172.22Pb13.21.222.30Bi14.11.192.251、单电子本征态和本征能量独立电子近似下，单电子的schrodinger方程：：电子在金属中势能e：电子的本征能量凝胶

4、图像=0，单电子薛定谔方程：电子波函数:电子的本征能量：0将波函数代入薛定谔方程，得相应电子的速度：电子的本征动量波矢取值的周期性边界条件：设样品的尺寸，周期性边界条件要求即有所以波矢空间和态密度电子波函数的波矢只能取分立的值，每个波矢对应电子的一个状态，将波矢看成空间矢量，每个波矢表示为波矢空间的一个点kxkykzO空间中每个点占据体积空间中单位体积许可的k的数目空间反映电子的状态和状态的变化空间表示质点的位置和运动轨迹2、基态和基态的能量基态：T=0时，N个电子占据的许可态服从泡利不相容原理和能量最低原理的状态。电子的许可态可以有电子的波矢表示，考虑电子自旋

5、，每个许可的态，可以有两个电子占据在空间中，能量相同的电子处于半径为k的球面上。费米球单电子能量：电子的能量正比于波矢的平方，基态时，N个电子在k空间填充的许可状态总是从费米面能量低状态到能量高的状态，电子在k空间的填充形成一个球，称为费米球，其半径称为费米波矢kF，费米球表面是电子占据态和未占据态的分界面，称为费米面。kF费米能量——费米面上单电子态的能量费米动量费米速度费米温度一般金属，，TF元素kF/108cm-1F/eVvF/108cm/sTF/104KLi1.124.741.295.51Na0.923.241.073.77K0.752.120.862.

6、46Rb0.701.850.812.15Cs0.651.590.751.84Cu1.367.001.578.16Ag1.205.491.396.38Au1.215.531.406.42Be1.9414.32.2516.6Mg1.367.081.588.23Ca1.114.691.285.44Zn1.589.471.8311.0Al1.7511.72.0313.6In1.518.631.7410.0Sn1.6410.21.9011.8Pb1.589.471.8311.0Bi1.619.901.8711.5费米球内的电子总数费米半径和电子数密度的关系基态能量单位体积内

7、自由电子气基态能量时，求和变为积分每个电子的平均能量态密度——单位体积样品中，单位能量间隔内，包含电子自旋在允许的电子态数目k空间中波矢在k-k+dk球壳内的电子态数目：将dk代入上式单位体积内，单位能量间隔的电子态密度费米面处电子态密度本节小结1、金属自由电子气模型2、自由电子气模型的唯一参量——电子密度3、每个电子占据体积和电子等效球半径4、单电子本征能量5、单电子本征动量和速度6、量子化波矢7、空间态密度8、费米球费米面——空间中，电子占据态与非占据态分界面T=0K时，单电子最高能量（费米能量）费米波矢和电子数密度的关系费米动量、费米速度和费米温度9、单电子

8、平均能量1