金属自由电子论课件.ppt

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1、第四章金属自由电子论§4.1Sommerfeld(阿诺德·索末菲)的自由电子论一、自由电子模型电子在一有限深度的方势阱中运动，电子间的相互作用可忽略不计；电子按能量的分布遵从Fermi－Dirac统计；电子的填充满足Pauli不相容原理；电子在运动中存在一定的散射机制。二、运动方程及其解1.运动方程其中，U0为电子在势阱底部所具有的势能，为简单起见，可选取U0＝0。令有方程的解为：其中，A为归一化因子，可由归一化条件确定。V为金属的体积。k为电子波矢电子的能量：二、周期性边界条件设金属为一平行六面体，其棱边分别沿三个基矢a1、a2和a3方向，N1、N2和N3分别为沿

2、a1、a2和a3方向金属的原胞数，那么，金属中原胞的总数为N＝N1N2N3周期性边界条件：k(r)＝k(r+Na)，＝1,2,3kNa＝2h,h为整数。由于波矢量k是倒易空间中的矢量，可用倒格子基矢表示：h为整数，＝1,2,3由于h1、h2、h3为整数，可见引入周期性边界条件后，波矢k的取值不连续，每一个k的取值代表一个量子态，这些量子态在k空间中排成一个态空间点阵，每一个量子态在k空间中所占的体积为那么，在k空间中，波矢k的分布密度为这表明，在k空间中，电子态的分布是均匀的，只与金属的体积有关。3.能态密度这表明，在k空间中，自由电子的等

3、能面为球面，在能量为E的球体中，波矢k的取值总数为每一个k的取值确定一个电子能级，若考虑电子自旋，根据Pauli原理每一个能级可以填充自旋方向相反的两个电子。如将每一个自旋态看作一个能态，那么，能量为E的球体中，电子能态总数为定义：能态密度其中：由此可见，电子的能态密度并不是均匀分布的，电子能量越高，能态密度就越大。三、Fermi－Dirac统计1.量子统计基础知识经典的Boltzmann统计：量子统计：Fermi－Dirac统计和Bose－Einstein统计费米子：自旋为半整数（n＋1/2）的粒子（如：电子、质子、中子等），费米子遵从Fermi－Dirac统计规

4、律，费米子的填充满足Pauli原理。玻色子：自旋为整数n的粒子（如：光子、声子等），玻色子遵从Bose－Einstein统计规律，玻色子不遵从Pauli原理。2.T＝0时电子的分布当T＝0时，系统的能量最低。但是，由于电子的填充必须遵从Pauli原理，因此，即使在T＝0时，电子也不可能全部填充在能量最低的能态上。如能量最低的能态已经填有电子，其他电子就必须填到能量较高的能态上。所以，在k空间中，电子从能量最低的原点开始填起，能量由低到高逐层向外填充，其等能面为球面，一直到所有电子都填完为止。由于等能面为球面，所以，在k空间中，电子填充的部分为球体，称为Fermi

5、球。将Fermi球的表面称为Fermi面，Fermi面所对应的能量称为Fermi能EF0。于是，可得电子的分布函数为f(E)={1EEF00E>EF0——费米半径——费米动量——费米速度EEF001f(E)T＝0在E－E＋dE中的电子数为：dN＝f(E)N(E)dE系统的自由电子总数为T＝0其中——自由电子密度对于金属：n：1022~1023cm－3，所以EF0~几个eV定义Fermi温度：对于金属，TF：104~105K。系统的总能量：T＝03.T>0时的分布当T>0时，电子热运动的能量~kBT，在常温下kBT<

6、态，即只有E－EF0~kBT的电子才能被热激发，而能量比EF0低几个kBT的电子则仍被Pauli原理所束缚，其分布与T＝0时相同。能量在E－E＋dE之间的电子数为：其中为Fermi－Dirac分布函数其中是电子的化学势，其物理意义是在体积不变的情况下，系统增加一个电子所需的自由能。从分布几率看，当E＝时，f()＝1/2，代表填充几率为1/2的能态。当E－>几个kBT时，exp[(E－)/kBT]>>1，有，这时，Fermi－Dirac分布过渡到经典的Boltzmann分布。且f(E)随E的增大而迅速趋于零。这表明，E－>几个kBT的能态是没有电子占

7、据的空态。当－E>几个kBT时，exp[(E－)/kBT]<<1，这时，f(E)1，这表明，－E>几个kBT的能态基本上是满态。在强简并情况下，EF（EF是T>0时的费米能）。这里需要指出的是，金属自由电子气的简并性与量子力学中能量的简并性是不同的。金属自由电子气的简并性指的是统计的简并性，而不是能量的简并性，即指金属自由电子气与理想气体遵从不同的统计规律。我们将金属自由电子气与连续气体性质之间的差异称为简并性。对金属而言，其熔点均低于TF，因此，在熔点以下，T<