空间向量的正交分解及其坐标表示课件(人教版)

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1、空间向量的正交分解及其坐标表示共线向量定理:复习：共面向量定理:平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyo问题：我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？xyzOQP一、空间向量的坐标分解给定一个空间坐标系和向量且设为空间两两垂直的向量，设点Q为点P在所确定平面上的正投影.一、空间向量的坐标分解xyzQPO由此可知,如果是空间两两垂直的向量,那么,对空间任一向量,存在一个有序实数组{x,y,z}使得我们称为向量在上的分向量.空间向量基本定理：都叫做基向量探究：在空间中,如果用任意三个不共面

2、向量代替两两垂直的向量,你能得出类似的结论吗？如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在有序实数组,使{}叫做空间的一个基底,（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.特别提示：对于基底{},除了应知道不共面，还应明确：（2）由于可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是.（3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念.例1设且是空间的一个基底,给出下列向量组②③④,其中可以作为空间的基底的向量组有()A.1个B.2个C.3个D.4个分析:能否作为空间的基底,即是判断给出的向量组中

3、的三个下向量是否共面,由于是不共面的向量,所以可以构造一个平行六面体直观判断A1AD1C1B1DCB设,易判断出答案C例题讲解：例题讲解二、空间直角坐标系单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3表示空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底e1,e2,e3,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。以建立空间直角坐标系O—

4、xyz若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)练习1如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O、M、P、Q分别是AC、DD1、CC1、A1B1的中点，写出下列向量的坐标.zxyABCDA1B1C1D1OMPQ探究：向量运算的坐标表示设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)a-b＝(x1-x2，y1-y2，z1-z2)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2练习一：2.求下列两个向量的夹角的余弦：1.求下列两点间的距

5、离：例题：例1已知　　　　、　　　　，求：（1）线段　　的中点坐标和长度；解：设　　　　　是　　的中点，则∴点　的坐标是.解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系　　　　，则例3如图,在正方体　　　　　　　中，，求　　与　　所成的角的余弦值.练习：xyz建立空间直角坐标系来解题。