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《空间向量的正交分解及其坐标表示-课件-(人教版).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、空间向量的正交分解及其坐标表示1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题．2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.1.空间向量基本定理．(重点)2.用基底表示已知向量．(难点)3.在不同坐标系中向量坐标的相对性．(易错点)1．平面向量基本定理的内容是：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使.不共面的向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组．2．在平面内，把一个向量分解成两
2、个互相垂直的向量，叫做把向量．a＝λ1e1＋λ2e2基底正交分解74问题：我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？xyzOQP一、空间向量的坐标分解给定一个空间坐标系和向量且设为空间两两垂直的向量，设点Q为点P在所确定平面上的正投影.一、空间向量的坐标分解xyzQPO由此可知,如果是空间两两垂直的向量,那么,对空间任一向量,存在一个有序实数组{x,y,z}使得我们称为向量在上的分向量.空间向量基本定理：都叫做基向量注:探究：在空间中,如
3、果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量,你能得出类似的结论吗？如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在有序实数组,使（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，还应明确：（2）由于可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是.（3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念.二、空间直角坐标系xyze1e2e3O单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂
4、直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用表示.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底,以点O为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O--xyzxyzOP(x,y,z)e1e2e3在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一向量,平移使其起点与原点o重合,得到向量由空间向量基本定理可知,存在有序实数组,使此时向量P的坐标恰是点P在直角坐标系O--xyz中的坐标，其中x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标，z叫做点P的竖坐标.显然,向量的坐标，就是点P在此空间直角坐标系中的
5、坐标(x,y,z).xyzOP(x,y,z)也就是说,以O为起点的有向线段(向量)的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化.e1e2e3一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).思考：设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB的坐标表示是什么？练习1如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O、M、P、Q分
6、别是AC、DD1、CC1、A1B1的中点，写出下列向量的坐标.zxyABCDA1B1C1D1OMPQ例题讲解17练习31．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是()A．2a，a－b，a＋2bB．2b，b－a，b＋2aC．a,2b，b－cD．c，a＋c，a－c答案：C答案：C答案：(1,1，－1)(－1,0,1)以下四个命题中正确的是()A．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示B．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量C．若向量a⊥b，则a，b与任何一个向量都不能构成空间的
7、一个基底D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底根据空间基底的定义逐个选项判断．[解题过程]答案：B1.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则()A．a与b共线B．a与b同向C．a与b反向D．a与b共面解析：由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B，C都是A的一种情况，空间中任两个向量都是共面的．故D错．答案：A2.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{a，b，y}；③{x，y，z}；④{a，x，y}；⑤{x，y
8、，a＋b＋c}．其中可以作为空间基底的向量组有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C由题目可获取以下主要信息：①{a，b，c}是一个基底，②空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心．解答本题可利用重心的性质，再结合图形进而求得结果．
