信号与系统的泛函分析

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1、第15卷第2期铁道学报Vol.15No.21993年6月J()URNAL()FTHECHINARAlWAYSOCIETYJune1993信号与系统的泛函分析周宝王白(北方交通大学北京)提要信号与系统的泛函分析是以泛函理论为工具描述和研究信号与系统特性的近代分析方法。这种方法可使信号与系统的表示更加抽象与概括,并使连续与离散、时域与频域、分析与综合达到统一,从而在信号与系统学科中得到了日益广泛的应用。本文仅就其基本理论及其应用加以简要的介绍。关键词距离空间,线性空间,赋范空间,内积空间,线性算子,线性泛函,方向导数1引言,、信号与系统的一般分析方法建立在普通函数的基础上它以微分方程积分变

2、换和线性代数为手段,描述与研究信号的特征及系统的响应,数学逻辑严密,物理概念清晰,不失为较好的。但是,一般分析方法仍具,:;;分析方法有局限性这就是概念较为狭窄方法不够概括各种变换不能统一;综合问题比较困难等。泛函理论是本世纪发展起来的独立数学分支。它以集合论为基础,研究无穷维抽象空间内的函数集合、函数代数以及集合算子特性,是定量分析具有无穷自由度的一切事物的有力工具。,,信号与系统的广泛性与泛函理论的抽象性相结合形成了更加严密而概括的分析方法称为信号空间理论,或称信号与系统的泛函分析。这种方法将信号抽象为无穷维空间中的一个,,,。点而将系统抽象为算子使信号与系统的表述更加概括与简便从

3、而得到广泛的应用2基本理论2.1信号集与信号空间集合是指由一些确定的元素组成的整体。在研究其属性时又可称为空间。任意一类信号均可形成信号集或信号空间。例如,周期正弦信号可由下式概括并形成周期正弦信号空间,,.二:二zme“斗夕,;A。夕任S={()一了〔A〕R},n刀,”。再如个取样点组成的离散时间序列可以形成维实数空间记作R空间连续时间信号可,。,形成连续时间空间记作C〔T〕空间能量有限信号则可形成平方可积空间记作L2〔T〕空间等。信号理论涉及以下不同属性的信号空间。距离空间(度量空间)是定义了距离的空间。例如Rn空间可定义下列几种不同的距离l,d(二妇一{二一y{(1)二二1。:本

4、文1992年1飞月飞。日收到周宝拍副教授北方交通大学通控系邮码1o0()4魂Z,’d(二,)一〔巨一:}〕专(2习3,ax、,,,,nd(二夕)=m〔】x一少】i一12⋯〕(3)线性空间(向量空间)是可以进行向量加法和向量标乘运算的空间。,,,,,如果M是个n维线性空间则M中的任一向量丁均可由基集任i一12⋯川的唯一线性组合加以表示。记为a厉(王一乙4),。,。{a}为系数这样牙式中向量仅为空间M中的一个点。,线性斌范空间是定义了范数的线性空间所谓范数是对应于向量至而定义的非负实数“”。牙。,nc”,以便体现该向量的大小记作!}}{例如在维复数空间中范数可定义为,厉一max}二(5)}

5、}}}{或二21刘一〔乙{{〕(6),,,如果在线性赋范空间中以范数定义距离d(二妇~}1歹一歹}}显然该线性赋范空间又是距离空间。内积空间是定义了内积的线性空间。所谓内积是线性空间中的一对向量至和歹与复平面,,。,相对应的量记作(矛歹)例如厂〔T〕空间为内积空间其中定义内积为·歹二了::‘‘)一()(,d{(7)“”,。内积与范数均可表征信号的大小因而关系密切我们可以在内积空间内定义范数为,。,,。“一(二劝告这样内积空间必然又是赋范空间从而也是线性空间与距离空间刘2,2线性算子与线性泛函,:。线性算子是由一个线性空间A到另一个线性空间B的线性映射记作LA~B映射应满足L(a牙1+2

6、)aL(歹12海~)+(王)(8)肛,:。线性泛函是由复线性空间A到复数域C的线性映射记作fA~C它是线性算子的特例。如线性系统可看作线性算子;冲激信号的取样特性可看作在厂〔T〕空间中的线性泛函。线性算子具有连续性、有界性与完备性。可以证明,有界线性算子本身也是线性空间,且为线性赋范空间。另外,内积空间内的线性泛函具有重要意义。可以证明,在完备的内积空间中,所有连续的线性泛函都可表示为内积。即,几(至)=(歹砂(9)2.3信号在有限维空间内的数值表示,,任意信号可看作某个有限维空间内的一个点由有限个数值表示以便于计算机存贮与处。,,,如果信号了处于万,理〔T〕空间中的某个维子空间风内且

7、M由已知的基集{璐}生成其,中研为时间函数则由式(4)可得,,牙一a,价(t);牙eM。任T艺(10),系数a式中{泞可由以下内积公式求得,:,(牙)一a(砚砚砚艺)(11)言吕卫互系统的泛函分析。,;,如果基集俪)在对内存在对偶基集a{瓦}则系数{}还可由,}表示即,,a,(;百)一(聆民)二(12)由于基集{平}与对偶基集{丙}具有下列关系,,.,,,{。。、‘了‘;,2、一。一{一一1⋯)(13)U,z了二j;,a,于,,少一l,,,n。