《信号与系统》-第三章-泛函分析初步

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1、《信号与系统》第三章：泛函分析初步第三章：泛函分析初步（参阅教材Ch6）(Fundamentalsonfunctional)§3.1线性空间l定义（线性空间，Linearspace）：设（为非空集合），满足下列两个条件：第一.中的元对“+”构成交换群，即，有：ⅰ）（加法封闭性）ⅱ）（结合律）ⅲ），使（存在唯一零元）ⅳ），使（存在唯一逆元/负元）ⅴ）（交换律）（满足前2条，构成半群；满足前4条，构成群；满足5条，构成加法交换群，又称为Abel加群，简称Abel群。）第二.(复数域/实数域)，对数乘封闭，即有：ⅵ）ⅶ）ⅷ）ⅸ）则称是数域上的线性空

2、间。若，则为实线性空间；若，则为复线性空间。注：1）加法封闭＋数乘封闭，有。　　　　　2）（上所有连续函数的全体）是线性空间。3）为由张成（生成）的线性空间。所生成的线性空间中的元是的线性组合。l定义（数域，Numberfield）：P是包括0、1的集合，对四则运算封闭，则称P为一个数域。l定义（线性算子，Linearoperator）：线性空间上的算子L为线性算子12《信号与系统》第三章：泛函分析初步（3-1）l推论：零状态线性系统系统算子为线性算子。§3.2线性子空间l定义（线性子空间，Linearsubspace）：设，是的线性子空间对

3、，有。l定义（直和，Directsum）：设是的子空间，若对，可唯一表示成，其中，则称是的直和，记为：。§3.3距离空间（度量空间）l定义（距离空间，Metricspace）：设，称为距离空间，指在中定义了映射：（含0正实数），满足以下三条公理：ⅰ），且（正定性）ⅱ）（可交换性）ⅲ）（三角不等式）称为上的距离，为度量空间。l定义（收敛，Convergence）：度量空间中的点列收敛于(ÎW)!是的极限当Þ趋于W上的点x0l定理：在中，每个收敛点列有唯一的极限点。证明：设®，®对当n³max{n1,n2}时，有即。证毕。l定义（柯西序列Cauc

4、hySequence）：设是中的点列，若对12《信号与系统》第三章：泛函分析初步，使，则称是中的柯西序列。Þ序列趋于越来越靠近注：中任意收敛序列是柯西序列，但中的柯西序列未必收敛到中。例：是上Cauchy列，W=(0,1]，则。但是，序列收敛于0ÏW。即该序列不是W=(0,1]上的收敛序列。l定义（完备度量空间，CompleteMetricSpace）：称为完备度量空间，指其中所有柯西序列都收敛。l几点说明：第一.极限运算在完备时可行，不完备则不能求极限。第二.度量空间（W,ρ）不要求W是线性空间！第三.如何完备化，是一个问题。§3.4巴拿赫

5、（Banach）空间　1.赋范线性空间：l定义（赋范线性空间，Normedlinearspace）：设是线性空间，若对，$满足三条公理：ⅰ），且（正定性）ⅱ）（正齐性）ⅲ）（三角不等式）称为的范数（Norm）；定义了范数的线性空间称为赋范线性空间，记为：。可见，是到数域的映射，记作：注1：赋范空间与距离空间的差别在于第二条公理，这是显然的，因为前者是空间上一个元素“大小”的度量，后者是空间上两个元素之间“差距”的度量。注2：赋范空间可以导出度量空间，但反之不然。说明如下：在中，可定义：，即从Þ。在中，若，则。可惜，有反例如下：12《信号与系统

6、》第三章：泛函分析初步l范数举例：（长度概念的推广——广义长度）¨例1：对于，，n维实数空间，称为的p范数。（3-2）特别地，当p=2时，（3-3）为2范数，称为欧氏范数。无穷范数不在（3-2）之列，另定义如下：（3-4）¨例2：离散时间（信号）序列空间l，无穷维向量，p次方可和（3-5），称为的p范数。（3-6）特别地，定义无穷范数：（上确界，supremum）（3-7）¨例3：连续时间信号空间，无穷维。对于，若，可定义，p次方可积（3-8），称为的p范数。（3-9）特别地，定义无穷范数：，上确界（3-10）分析可知，不完备。由Lebesg

7、ue积分存在性可知，是p次方[L]可积的连续函数集，，且完备，此函数空间记为。完备的定义参见下面定义。12《信号与系统》第三章：泛函分析初步l定义（勒贝格函数空间，）：设Ω为任意可测集，是Ω上可测函数，则在Ω上Lebesgue可积（）的所有函数构成的集合称为勒贝格函数空间，记为。并称为的p范数（p-norm）。l定义（完备性）：设Ω为任意可测集，是上的序列，满足，即存在，使得，这种情况称为的完备性，亦称具有完备性。l离散序列空间的Minkovski不等式：设，则：（3-11）等号成立条件为：。l连续函数空间的Minkovski不等式：l定理（

8、空间包含定理）：低次方可和的离散序列必高次方可和，即（3-12）其中。12《信号与系统》第三章：泛函分析初步证明：，因为所以，，使得当n>N时，恒有：因而，，Þ所以