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1、《信号与系统》第三章:泛函分析初步第三章:泛函分析初步§3.1线性空间定义(线性空间):设W≠∅(W为非空集合)(1)W中元对“+”构成交换群,即对∀XYZ,,∈W,有ⅰ)XY+∈W(加法封闭性)ⅱ)()XYZXYZ++=++()(结合律)ⅲ)∃∈0W,使0+XX=(存在零元)ⅳ)∃−∈XW,使(−XX)+=0(存在逆元)ⅴ)XYYX+=+(交换律)(2)对∀∈∀∈XY,,WCα,β(复数域)有:ⅵ)αβ()()XX=∈αβWⅶ)()α+=βαβXXX+ⅷ)α()XY+=+ααXYⅸ)1⋅XX=
2、,称W为线性空间,若α,β∈C,则W为复线性空间,若α,β∈R,则W为实线性空间。N注:1)加法封闭+数乘封闭⇔∀∈∀∈XiiWC,α,有∑αiiX∈W。i=12)C,[ab]([ab,]上所有连续函数的全体)是线性空间。3)span{XX,,,…X}为由XX,,,…X张成的线性空间。12n12n定义(线性算子):线性空间上的算子为L线性算子⎧⎫NN⇔=LL⎨⎬∑∑ααiiXXi{}i(3-1)⎩⎭ii==11定义:零状态线性系统⇔系统算子为线性算子。§3.2线性子空间定义(线性子空间):设∅≠
3、⊂VW,V是W的线性子空间⇔对∀∈∀∈XY,,WCα,β,有αXY+β∈V。定义(直和):设WW,,,"W是W的子空间,若∀X∈W对,X可唯一12p表示成XX=++"X,其中X∈=Wi(1,…,p),则称W是1pi1《信号与系统》第三章:泛函分析初步WW,,,"W的直和,记为:WWW=⊕⊕⊕"W。12p12p§3.3距离空间(度量空间——MetricSpace)定义(距离空间):设W≠∅,称W为距离空间,指在W中定义了映射:ρ()XY,:WWR×→+(包括0),∀XY,∈W满足以下三条公理:ⅰ)
4、ρ()XY,0≥,且ρ(XY,0)=⇔XY=(正定性)ⅱ)ρρ()XY,,=(YX)(可交换性)ⅲ)ρρρ()XZ,,,≤+(XY)(YZ)(三角不等式)ρ()XY,称为W上的距离,(W,ρ)为度量空间。∞定义(收敛):度量空间(W,ρ)中的点列{}x收敛于xnn=10∞⇔x是{}x的极限0nn=1⇔ρ()xx,0→,当n→∞n0⇔limx=xn0n→∞定理:在()W,ρ中,每个收敛点列有唯一的极限点。∞定义(柯西序列——CauchySequence):设{}x是(W,ρ)中的点列,nn=1∞若
5、对∀>∃=ε0,NN()ε,使ρε(x,,xn)<∀>,mN,则称{}x是nmnn=1()W,ρ中的柯西序列。注:()W,ρ中任意收敛序列是柯西序列,但(W,ρ)中的柯西序列未必收敛到()W,ρ中。定义(完备度量空间——CompleteMetricSpace):(W,ρ)称为完备度量空间,指其中所有柯西序列都收敛。§3.4巴拿赫(Banach)空间1.赋范线性空间:定义(赋范线性空间):设W≠∅是线性空间,若对∀XY,∈W,∃X满足:ⅰ)∃≥X0,且XX=⇔0=0(正定性)ⅱ)αααXX=∀,∈
6、C(正齐性)ⅲ)XYXY+≤+(三角不等式)称为X的范数(Norm),定义了范数的线性空间W称为赋范线性空间,记为:(W,•)。2《信号与系统》第三章:泛函分析初步注:度量空间与赋范空间的关系:在(W,•)中,定义:(广义)长度的推广:nTnVR,∀=X[xx,,,…x]∈R12n1⎧⎫nppXp=⎨⎬∑xpi,1≤<∞(3-2)⎩⎭i=1特别的:p=∞=∀,mXaxxi,∞i(3-3)1p==2,XX,X2(3-4)2为欧氏范数。Vp⎧⎫⎪⎪∞∞plXx⎨⎬={}nin=1∑x<∞,1≤<∞
7、p(3-5)⎪⎪⎩⎭i=11⎧⎫nppXxpp=⎨⎬∑i,1≤<∞(3-6)⎩⎭i=1特别的,p=∞=∀,sXxup,i∞i(3-7)VC,[ab],对∀∈x()taC[,b],bpLabxtp[],
8、d{()xtt()<∞}∫a(3-8)1bppxt()={}∫xt()d,t1≤<∞p(3-9)pa特别的,p=∞,sxt()∞=upxt(),∀∈tab[,](3-10)∞∞ppMinkowski不等式:设abii,0≥∀,,i∑∑ai<∞,bi<∞,则:ii==11111⎧⎫∞∞pp⎛⎞⎛
9、∞⎞pppp⎨⎬∑∑()abii+≤⎜⎟ai⎜⎟∑bi,1p≥(3-11)⎩⎭ii==11⎝⎠⎝i=1⎠3《信号与系统》第三章:泛函分析初步∞∞等号成立条件为:{}ba=α{}。iiii=11=定理:ll12⊂⊂⊂...l∞(3-12)p⎧⎫⎪⎪∞p∞,其中lXx⎨⎬=<{}nin=1∑x∞,1≤p<∞。⎪⎪⎩⎭i=1∞pp证明:∀∈Xl,因为∑xn<∞,n=1所以∃N,使得当np,nN==nNqpq因此,X∈l,所以:ll⊂。∞