理学]清华大学信号与系统课件第三章泛函分析初步

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1、信号与系统第三章泛函分析初步1第三章泛函分析初步§3.1线性空间§3.2线性子空间§3.3距离空间§3.4Banach空间§3.5Hilbert空间§3.6完备规范正交集上广义傅里叶展开2§3.1线性空间线性空间：设W≠Ø（W为非空集合）(1)W中元对“+”构成交换群，即对X,Y,ZW,有ⅰ.ⅱ.ⅲ.ⅳ.ⅴ.3§3.1线性空间(2)对X,YW，α,βC（复数域）有：ⅵ.ⅶ.ⅷ.ⅸ.称W为线性空间；若α,βC，则W为复线性空间；若α,βR，则W为实线性空间。4§3.1线性空间5§3.1线性空间线性空间W上的算子L为线性算子零状态

2、线性系统系统算子为线性算子6§3.2线性子空间线性子空间：设Ø≠VW，V是W的线性子空间直和：设7§3.3距离空间（度量空间——MetricSpace）距离空间：设W≠Ø，称W为距离空间，指在W中定义了映射：（包括0），X,YW满足以下三条公理：称为W上的距离，为度量空间。8§3.3距离空间例：例：9§3.3距离空间例：10§3.3距离空间－收敛收敛：定理：在中，每个收敛点列有唯一的极限点。11§3.3距离空间－完备度量空间柯西序列——CauchySequence例：12§3.3距离空间－完备度量空间中任意收敛序列是柯西序列中的柯西序列

3、未必收敛到中例：13§3.3距离空间－完备度量空间完备度量空间——CompleteMetricSpace称为完备度量空间，指其中所有柯西序列都收敛。极限运算在完备时可行如何完备化？W不要求线性空间14§3.4巴拿赫（Banach）空间15§3.4.1赋范线性空间赋范线性空间：设W≠Ø是线性空间，若对XW，‖X‖满足：称为X的范数（Norm），定义了范数的线性空间称为赋范线性空间，记为。16§3.4.1赋范线性空间（广义）长度的推广：例1：17§3.4.1赋范线性空间（广义）长度的推广：例2：18§3.4.1赋范线性空间Minkowski不

4、等式：19§3.4.1赋范线性空间20§3.4.1赋范线性空间例21§3.4.1赋范线性空间强收敛：弱收敛：依泛函收敛。注：强收敛弱收敛。22§3.4.1赋范线性空间度量空间与赋范线性空间的关系：例23§3.4.2.Banach空间Banach空间：完备的称为Banach空间。是Banach空间。在中，取完备。24§3.4.2.Banach空间定理：若Hölder不等式：证明思路：25§3.5Hilbert空间26§3.5.1内积空间内积：设W≠Ø为实或复线性空间，若对X,Y,Z∈W,λ∈C，均有一个实数或复数与之对应，记为〈X,Y〉，满足

5、：则称〈X,Y〉为X与Y的内积，定义了内积的空间为内积空间。27§3.5.1内积空间注：例子：28§3.5.1内积空间例子：29§3.5.2Hilbert空间定义欧氏范数，则内积（线性）空间成为赋范线性空间。Hilbert空间：依欧氏范数完备的内积空间称为Hilbert空间。有限维内积空间必完备：完备。完备，定义内积。H空间是能量有限信号的集合。30§3.5.2Hilbert空间Cauchy-Schwarz不等式：W为内积空间，X,Y∈W，有注：1.在Hölder不等式中，取，就成为Cauchy-Schwarz不等式。2.在空间中，有Cauc

6、hy不等式：3.在空间中，有Schwarz不等式：31§3.5.3线性泛函算子—Operator：X,Y为线性空间，算子：其中，为定义域，为值域。32§3.5.3线性泛函泛函—Functional：值域是实／复数域的算子为泛函。注：定积分，距离，范数，内积，函数（第三种定义），（普通）函数均为泛函。线性算子：X,Y为线性空间，，若对，有：则T为线性算子。33§3.5.3线性泛函线性泛函：线性算子T的值域为实／复数集。距离、范数是泛函，但非线性泛函。连续线性算子T线性算子：有界连续内积为连续线性泛函积分算子34§3.6完备规范正交集上广义傅里叶

7、展开35§3.6.1正交—Orthogonal正交：在内积空间W中，若，满足：，则称正交，记为：。其中k为常数，为Kronecker符号－正交（子）集：中任意两个元正交。36§3.6.1正交集正交：若正交补：规范正交完备集V：1.（完备性）2.（规范正交）37§3.6.1正交定理：Hilbert空间存在规范正交完备集。定理：W是Hilbert空间，，V是W的正交子集。38§3.6.2正交投影—OrthogonalProjection正交投影：W是Hilbert空间，在V上的正交投影或投影，记为：。注：的距离最小，即正交投影使均方误差最小化。39

8、§3.6.3广义傅里叶展开广义傅里叶展开：设是H空间W的规范正交完备集，则对为广义傅里叶系数。注：是Hilbert空间W的规范且完备的一组基。是X在上