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《一个新的Liouville 可积系统及其Lax 表示》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、应用数学和力学,第22卷第5期(2001年5月)应用数学和力学编委会编AppliedMathematicsandMechanics重庆出版社出版文章编号:1000-0887(2001)05-0458-07一个新的Liouville可积系统及其Lax表示,XBi-Hamilton结构12范恩贵, 张鸿庆(11复旦大学数学研究所,上海200433;21大连理工大学应用数学系,大连116024)(我刊编委张鸿庆来稿)摘要:从一个特征值问题出发,首先推导一族非线性发展方程,其中包括著名MKdV方程做为特殊约化,进一步证明这族方程在Liounille意义下可积并具有Bi
2、-Hamilton结构· 而在位势函数和特征函数之间的一定约束下,特征值问题被非线性化为一完全可积的有限维Hamilton系统· 关 键 词:可积系统;Lax表示;Bi-Hamilton结构中图分类号:O175文献标识码:A引 言寻找新的有限维和无穷维可积系统是孤立子理论研究的重要课题,近年来,二种分别产生有限维和无穷维可积Hamilton系统的有效途径被提出,首先由屠规彰教授提出的迹恒等式是构造无穷维可积Hamilton系统的十分有效的代数方法,从一个适当的特征值问题出发,许多可[1～3]积系统(如AKNS,TC,TA,BPT,Yang族等)及其Hamil
3、ton结构被获得;其次曹策问教授提出非线性化方法是从孤立族中产生新的有限维可积Hamilton系统的一种有效途径,在位势函数和特征函数之间的Bargmann或Neumann约束下,特征值问题被非线性化为有限维完全可积[4～9]Hamilton系统· 在本文同时应用这二种方法研究如下特征值问题· uv+λψx=Uψ=ψ,(1)v-λ-u其中u,v表示位势,λ为特征参数· 在第1节从问题(1)出发,首先推导一族新的非线性发展方程,其中两个典型方程为β23β23ut=[-vxx+2uv+2v],vt=[-uxx-2uv-2u]· (2)22β22β22ut=[-ux
4、xx+6(u+v)ux],vt=[-vxxx+6(u+v)vx]· (3)44当β=4,v=0或β=4,u=0时,方程组(3)化为MKdV方程· 进一步我们证明这族方程在Liouville意义下可积并具有Bi-Hamilton结构· 第2节我们将给出这族方程的Lax表示· 第3X收稿日期:2000-03-21;修订日期:2001-01-05基金项目:中国博士后基金资助课题;国家基础研究重大课题“数学机械化及自动推理平台”资助课题(G1998030600)作者简介:范恩贵(1962—),男,河北唐山人,副教授,博士.458©1995-2004TsinghuaTo
5、ngfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.范 恩 贵 张 鸿 庆459节通过对特征问题(1)的非线性倾,在位势函数和特征函数之间的一定约束下,得到了一个Bargmann系统,并进一步证明这个Bargmann系统是一个完全可积的有限维Hamilton系统· 1 非线性方程族及其Bi-Hamilton结构-1取loop代数AŽ=A1ªC[λ,λ]的一组基100100nnnh(n)=λ,e(n)=λ,f(n)=λ· 0-10010容易验证它们之间具有如下运算关系:[h(m),e(n)]=2e(m+n),[h(m
6、),f(n)]=-2f(m+n),[e(m),f(n)]=h(m+n)· 将谱问题(1)中的U可表示为U=e(1)-f(1)+uh(0)+v(e(0)+f(0))· 设V=ah(0)+be(0)+cf(0),解伴随方程Vx=[U,V],可得到ax=v(c-b)+λ(b+c),bx=-2ub-2va-2λa,cx=2va-2uc-2λa· -m-m-m将a=∑amλ,b=∑bmλ,c=∑cmλ代入上述方程,进一步得到m≥0m≥0m≥0amx=v(cm-bm)+(bm+cm),bmx=2ubm-2vam-2am+1,cmx=2vam-2ucm-2am+1· 由此可
7、解得前几个为a0=0,b0=β,c0=-β,a1=βu,b1+c1=2βv,b1-c1=0,β22a2=-vx,b2+c2=βux,b2-c2=β(u+v),2β23β23a3=(-uxx+2uv+2u),b3+c3=(-vxx+2vu+2v),42β22b3-c3=β(vux-uvx),a4=[vxxx-6(u+v)vx],8β22b4+c4=[-uxxx+6(u+v)ux],4β224422b4-c4=[-2(uuxx+vvxx)+(ux+vx+3u+3v+6uv)]· 4及2am+12am=M,(4)bm+1+cm+1bm+cm-1-1其中 bm-cm
8、=25u(bm+cm)-45vam,-
