随机模型与计算机模拟

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1、第七讲随机模型与计算机模拟随机人口模型背景一个人的出生和死亡是随机事件一个国家或地区平均生育率平均死亡率确定性模型一个家族或村落出生概率死亡概率随机性模型对象X(t)~时刻t的人口,随机变量.Pn(t)~概率P(X(t)=n),n=0,1,2,…研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)的期望和方差若X(t)=n,对t到t+t的出生和死亡概率作以下假设1)出生一人的概率与t成正比，记bnt;出生二人及二人以上的概率为o(t).2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt;死亡二人及二人以上的概率为o(t).3)出生和死亡是相互独立的随机事件。bn与n成正比，记bn=

2、n,~出生概率；dn与n成正比，记dn=n，~死亡概率。进一步假设模型假设建模为得到Pn(t)P(X(t)=n),的变化规律，考察Pn(t+t)=P(X(t+t)=n).事件X(t+t)=n的分解X(t)=n-1,t内出生一人X(t)=n+1,t内死亡一人X(t)=n,t内没有出生和死亡其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人，……)概率Pn(t+t)Pn-1(t),bn-1tPn+1(t),dn+1tPn(t),1-bnt-dnto(t)~一组递推微分方程——求解的困难和不必要(t=0时已知人口为n0)转而考察X(t)的期望和方差bn=n

3、，dn=n微分方程建模X(t)的期望求解基本方程n-1=kn+1=k求解比较：确定性指数增长模型X(t)的方差E(t)-(t)-=rD(t)E(t)+(t)Et0n0,D(t)X(t)大致在E(t)2(t)范围内（(t)~均方差）r~增长概率r~平均增长率目的内容学习计算机模拟的基本过程与方法。1、模拟的概念。3、计算机模拟实例。2、产生随机数的计算机命令。模拟的概念模拟就是利用物理的、数学的模型来类比、模仿现实系统及其演变过程，以寻求过程规律的一种方法。模拟的基本思想是建立一个试验模型，这个模型包含所研究系统的主要特点．通过对这个实验模

4、型的运行，获得所要研究系统的必要信息模拟的方法1、物理模拟：对实际系统及其过程用功能相似的实物系统去模仿。例如，军事演习、船艇实验、沙盘作业等。物理模拟通常花费较大、周期较长，且在物理模型上改变系统结构和系数都较困难。而且，许多系统无法进行物理模拟，如社会经济系统、生态系统等。在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系统，用分析方法建模常常需要作许多简化假设，与面临的实际问题可能相差甚远，以致解答根本无法应用。这时，计算机模拟几乎成为唯一的选择。在一定的假设条件下，运用数学运算模拟系统的运行，称为数学模拟。现代的数学模拟都是在计算机上进行的，称为计算机模拟。2、数学模拟计

5、算机模拟可以反复进行，改变系统的结构和系数都比较容易。蒙特卡洛（MonteCarlo）方法是一种应用随机数来进行计算机模拟的方法．此方法对研究的系统进行随机观察抽样，通过对样本值的观察统计，求得所研究系统的某些参数．返回用蒙特卡洛方法进行计算机模拟的步骤：[1]设计一个逻辑框图，即模拟模型．这个框图要正确反映系统各部分运行时的逻辑关系。[2]模拟随机现象．可通过具有各种概率分布的模拟随机数来模拟随机现象．产生模拟随机数的计算机命令在Matlab软件中，可以直接产生满足各种分布的随机数，命令如下：2．产生mn阶［０，１］均匀分布的随机数矩阵：rand(m,n)产生一个［

6、０，１］均匀分布的随机数：rand1．产生mn阶［a，b］均匀分布U（a，b）的随机数矩阵：unifrnd(a,b,m,n)产生一个［a，b］均匀分布的随机数：unifrnd(a,b)当只知道一个随机变量取值在（a，b）内，但不知道（也没理由假设）它在何处取值的概率大，在何处取值的概率小，就只好用U（a，b）来模拟它。ToMatlab（rnd）当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和，且其中每一种变量对总和的影响都很小时，可以认为该对象服从正态分布。各种测量误差、人的身高、体重等，都可近似看成服从正态分布。若连续型随机变量X的概率密度函数为其中>0为常数，则称X服从参

7、数为的指数分布。指数分布的期望值为排队服务系统中顾客到达率为常数时的到达间隔、故障率为常数时零件的寿命都服从指数分布。指数分布在排队论、可靠性分析中有广泛应用。注意：Matlab中，产生参数为的指数分布的命令为exprnd()设离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,…,且取各个值的概率为其中>0为常数，则称X服从参数为的帕松分布。帕松分布在排队系统、产品检验、天文、物理等领域有广泛应用。帕松分布的期望值为如相继两个事件出现的间隔时间服从参数为的指数分布，则在单位时间间隔内事件出现的次数服从参数为的泊松分布．即单位时间内该事件出现k次