随机性模型与模拟方法

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1、随机性模型与模拟方法随机变量蒙特卡罗方法随机数的生成模拟一、随机变量何谓随机变量？随机变量是一个其值不可预测的变量。虽然一个随机变量在个别试验中其结果不确定，但在大量重复试验中其结果是具有统计规律的。正是随机变量的这种规律性使我们可以利用它来建模。例如我们可以利用下述的数据：得出一个模型。时间t（秒）0123456789变量X1022120102是一个离散的随机变量并取值于0，1和2。我们不可能给出与的确定的关系式，但是可以通过数的不同值出现次数来描述这随机型的规律列表如下：这个表给出了随机变量的变化规律，频率告诉某个特定的事件发生的频繁程度。如果我们需

2、要构造一个含有随机变量的模型，可以假设这个规律总是成立的，模型的假设可以基于这几个数据之上。实际操作时可以把频率分布当作概率函数来处理，但应注意概率是频率的极限值，这两者是有差异的。在处理一个简单的理论模型时，对概率函数012频数334频率0.30.30.4必须作出合适的选择。例如，假设在上述问题中的随机变量取三个值时等于可能的，这样其概率函数为这个例子说明在处理随机变量的模型时有以下两种选择：（1）使用一个理论模型。这在任何一本概率统计的书上都可以找到一些标准的理论模型如二项分布等。每一个都基于一定的假设之下成立的，所以在选用时要特别注意其假设条件。（

3、2）使用基于实际数据的频率表，并不去套用不准理论模型。012使用前者的好处在于能精确地叙述变量的概率，在处理问题时可以充分发挥数理统计的作用。但这一好处把所求模式制约在了处理简单情形。随着复杂性的增加，数学就变的太难。使用后者的好处在于模型时基于观测到的数据而不是基于假设之上。增加复杂性并不成为一大障碍，但我们不再能利用数理统计而得求助于模拟以及模型的统计结果。在建立随机性模型时，首先要注意，将要处理的是离散还是连续的随机变量。1、离散随机变量离散随机变量的理论模型是由概率函数来刻画的。这个式子说明随机变量取值时的概率。对于离散型的随机变量有下面三种重要

4、的分布（0－1）分布设随机变量只可能取0、1两个值，它的分布规律是则称服从（0－1）分布。对于一个随机实验，如果它的样本空间只包含两个元素，即，我们总能在上定义一个服从（0－1）分布的随机变量来描述这个随机实验的结果。例如，对新生儿的性别进行登记，检查产品的质量是否合格等都可以用（0－1）分布的随机变量来描述。（2）二项分布设实验只有两个可能的结果，将独立地重复地进行次，则称这一串重复的独立实验为重贝努利实验。它是一重和重要的数学模型，有着广泛的应用。若用表示重贝努利实验中事件发生的次数，是一个随机变量，它服从如下的二项分布特别，当时二项分布就是（0－1

5、）分布。（3）泊松分布设随机变量所有可能的取值为而取各个值的概率为其中，是常数，则称服从参数为的泊松分布。可以证明当很小时，以为参数的二项分布，当时趋于以为参数的泊松分布，其中2、连续的随机变量理论模型的连续型随机变量可以由概率密度函数来描述，对所有的存在，且，随机变量落在区间的概率可由来给出，在连续型随机变量中下述两种是重要的。(1)均匀分布设连续型随机变量具有概率密度则称在区间（a，b）上服从均匀分布。在区间（a，b）上服从均匀分布的随机变量，具有下述意义的等可能性，即它落在区间（a，b）中任意等长度的子区间内的可能性是相同的，或者说它落在子区间内的

6、概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。（2）正态分布设连续型随机变量的概率密度为其中为常数，则称服从参数为的正态分布。连续型随机变量的值如同离散的一样可以用频率表给出，但不同的是离散的随机变量每个频率对应于随机变量的一个值，而对于随机变量每一个频率对应于随机变量的一个取值范围。二、蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法是计算模拟的基础，其名字来源于世界著名的赌城——摩纳哥的蒙特卡罗。其思想来源于著名的蒲丰投针问题。1777年法国科学家蒲丰提出了下述著名问题：平面上画有等距离的一些平行线，取一根长度为的针，随机地向有平行线的平面上掷去，求针与平行线相交的概率。我

7、们用几何概型来解决这一问题。设M为针落下后的中点，表示中点M到最近一条平行线的距离，表示针于平行线的交角，如图2.18所示。那么基本时间区域图2.18它为平面上的一个矩形，其面积为。为使针与平行线（与最后的一条平行线）相交，其充要条件是的面积为，这样针与平行线相交的概率为设一共投掷次（是一个事先选好的相当大的自然数），观察到针和直线相交的次数为。从上式我们看到，当比值不变时，值始终不变。取为的近似值，我们可以算出的近似值。可以想象当投掷次数越来越多时计算的结果就越来越准确。下表时这些实验的有关资料(此处把折算为1）：实验者年份针长投掷次数相交次数的实验值

8、pulf18500.8500025323.1596Smith18550.6320