Ch2、导数与微分

《Ch2、导数与微分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、Ch2、导数与微分§1、导数概念一、引例1、瞬时速度平均速度，时刻瞬时速度2、切线斜率割线斜率为，由切线定义，切线斜率两者的共同点是（函数变化率）二、导数定义定义1：设在的某邻域内有定义，如极限存在，则称在处可导，并称此极限为在处的导数，记为。①导数还有如下形式的定义：②导数的几何意义由引例2和定义1可知，导数即曲线在点处切线的斜率。例1、在处可导，求①13②定义2：若在开区间内每上点均可导，则对任一，都有唯一导数值与之对应，这构成了内的一个函数，称为的导函数，简称导数，记为切记：三、常用导数1、（1）解：2

2、、（2）解：3、（3）解：同理（4）4、（9）13解：特别地，（10）5、（11）解：特别地，（12）四、左右导数定义：如左（右）极限存在，则分别称之为在点处的左（右）导数，记为。定理：例2、求的导数。解：；（此时用公式），（此时一定要用定义）故不存在，即处不可导。13从而注：①此题易犯的典型错误为“因”②开区间内函数的导数可直接用公式计算，但分段点处的导数一定要用导数定义（一般要分左右导数）计算，切记！五、可导与连续的关系定理：若在处可导，则在处连续，即。证：,即在处连续。注：反之不成立，即连续不一定可导（

3、见下例）。例3、讨论在处的连续性、可导性。解：故处连续。，故处不可导。若函数改为或，结论如何？例4、求曲线的与直线平行的切线。解：设切点为，则切线斜率为依题意，故切线为§2、导数的四则运算法则设、均可导，则1、13例如，2、，特别地，其中C为常数。例如，3、例1、求①②的导数。解：①即（5）同理（6）②即（7）同理（8）§3、反函数及复合函数的导数定理1：若与互为反函数，且单调、可导，则，即例1、求的导数（13）解：为的反函数，13同理（14）例2、求的导数（15）解：为的反函数，同理（16）定理2（链锁法则

4、）：若与均可导，则也可导，且即推广：例3、求下列函数的导数①②③④⑤13⑥⑦⑧⑨§5、高阶导数1、引入一阶导数二阶导数记为同理有2、常用的阶导数①解：特别地，②解：类似地，13③解：，，，同理例1、求①②的阶导数。解：①，②例2、求①②，求解：①②，3、莱布尼兹公式例3、，求13解：§6、隐函数的导数、参数方程确定的函数的导数、相关变化率一、隐函数的导数1、由方程所确定的函数称为隐函数。例如，，其中前者可显化，而后者不能。2、求导法：在方程两边关于求导，此时，切记为的函数。例1、①②，求解：①②例2、，求解：

5、3、对数求导法13例3、，求错解：不是幂函数，而是幂指函数。解：两边取对数，然后再两边对求导，，故或：例4、，求解：两边取对数，，故注：对数求导法适用于例5、，求解：二、参数方程确定的函数的导数1、若参数方程确定了为的函数，则例6、①②解：①13②，又，故2、高阶导数（此时为的显函数）例7、①②③解：①注：典型错误“”②注：③例8、解：13三、相关变化率设有两变量，由于的作用，有关，从而两者的变化率也有关，称之为相关变化率。例9、圆柱体半径每秒增长，高每秒增长，问当时，体积的增长速度为多少？解：，两边关于时间

6、求导（均为的函数）§7、函数的微分一、微分的定义1、引例显然，2、定义：对，若可表示成其线性主部与的高阶无穷小之和，即，则称在处可微，称为在处微分，记为，即。显然，3、可微的条件定理：在处可微在处可导，且证：必要性，在处可微，即13即在处可导，且充分性，在处可导，即由P51定理知，，而为的线性函数，显然为的高阶无穷小，故在处可微。4、微商通常称为自变量的微分，记为，即，从而由，得，即函数微分与自变量微分之商——微商。例1、①，求②③。解：①②③二、微分的几何意义如图，，而三、微分公式与运算法则因，故微分基本公

7、式、运算法则与导数公式、运算法则类似，见P145～P146。例2、在括号内填入适当的函数①②③④13