利息理论第2章等额年金(上)

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1、第二章等额年金（上）主要内容年金的定义年金的类型年金的现值与终值年金的利率问题、时间问题求解一、年金的定义年金是指在相等的时间间隔内的一系列支付或收款。等额年金：每次的支付额相等。二、年金的类型确定性分类：确定型年金、不确定型年金。每次的支付额分类：等额年金、变额年金。支付时点分类：期初付年金、期末付年金。支付期限分类：定期年金、永续年金。连续性年金：离散型年金、连续型年金。三、年金的现值与终值1、n年定期年金1）期末付年金①现值0123n1111vv2vn。上式可写成：期初投资1元，每年末可获得利息i，且第n年末可获得本金1元。②年金终值.01n-2n-1n11111+

2、i(1+i）2(1+i)n-1。每年末存入1元，第n年末可得③证明：2）期初付年金①现值012n-2n-1n11111vv2Vn-1。②终值。01n-2n-1n11111+i(1+i)2(1+i)n。③④期初付年金与期末付年金⑤其他例：王平从银行贷款20，000元，他想在今后的10年内等额还清贷款，贷款年利率为15%。求：1）每年末的还款额；2）每年初的还款额。解:2、延期m年的n年期年金1）期末付延期年金现值0mm+1m+n-1m+n111Vm+1vm+n-1Vm+n。或：终值或：2)期初付延期年金现值或：。终值或：例：3，000元的债务从第5年初开始，每年初偿还相同的

3、数额，共分15次还清，年利率为8%，求年还债额。解：3、永续年金1）期末付年金现值2）期初付年金现值期初投资元，则每年可获得1元期初投资元，则每年可获得1元3）延期m年的永续年金4、其他时点上的年金过期年金的终值01----nn+1n+m1----1同理：.年金的当前值01----mn1----111同理：例：某投资项目，前3年每年初投资5万元，后3年每年末投资3万元，i=6%，试计算该项投资在10年末的终值解：前3年投资在10年末的终值为：后3年投资在第10年末的终值为：总的终值为：37.43万元5、连续年金现值例：某企业从银行获得一笔贷款，年利率为6%，假设企业每年

4、末向银行偿还20，000元，10年后还清，如果企业打算在5年内一次还清，试求一次还清的额度。解：李明今年30岁，他计划每年初存300元，共存30年建立个人养老金，这笔存款能使他从60岁退休开始每年初得到固定金额的养老金，共能取20年，假设存款利率在前30年为6%，后20年为12%，求每年得到的养老金额。解：例：某单位计划用10年时间每年初存入银行一笔固定的金额建立基金，用于10年末开始每年2，000元的永续奖励支出，i=12%,求每年需存入的金额。解：例：设某期初付年金共支付20年，其中：前6年的年金额为5元，中间9年的年金额为7元，后5年的年金额为10元，请写出年金现值

5、和终值的表达式。解：现值终值四、年金的利率、时间问题求解1、利率问题1）迭代法一2）Newton-Raphson迭代法1）迭代法一迭代公式步骤第一步：确定i0，求i1；A、i0可由线性插值法确定；B、泰勒级数前两项确定。第二步：由i1求i2，以此类推。可得i0、i1、i2----，直到it+1≈it为止。确定迭代公式：得：。得：缺点：收敛速度慢。即达到精确值的速度慢。2）Newton-Raphson迭代公式优点：速度快。推导N-R近似公式。。如果已知，则迭代公式其中：例、某人存入银行8，000元，然后每年末从银行支取1，000元，共取10年，求：i解法一：线性插值法。试算

6、得：f(0.040)=0.1109=f(i2)f(0.045)=-0.0873=f(i1)令：解二：迭代一：i(0)=0.045i(1)=0.0448583i(2)=0.0443989i(6)=0.0433879i(7)=0.0432567i(8)=0.0431539----i(42)=0.04277506i(43)=0.0427750i(44)=0.0427750由公式：解法三，N-R迭代法由N-R公式：得：i=0.0427752、时间问题1）解析式2）小额支付当n为非整数时，有小额支付问题。01k-1ksk+1111wn=k+ss<1最后一次支付额w<1W的计算W的提

7、前支付W在第k+1年初的现值。最后一次取款额为W的延时支付W在第k+1年末的终值。例：投资者将其20，000元存入某基金，希望在每年末领取1，000，i=4.5%，求：1）领取的时间及取款的次数；2）最后一次的取款额；3）最后一次取款额在当年的现值和终值。解：1）求n取款次数为53次2）设小额支付为w3）如果w在53年初支付，则其现值为：如果w在53年末支付，则其终值为：五、可变利率年金假设每年的实际利率分别为i1、i2、---in。1、期末付年金0i11i22n-2in-1n-1inn11111现值终值。2、期初付年金现值终