利息理论第2章等额年金(上)

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1、第二章等额年金(上)主要内容年金的定义年金的类型年金的现值与终值年金的利率问题、时间问题求解一、年金的定义年金是指在相等的时间间隔内的一系列支付或收款。等额年金:每次的支付额相等。二、年金的类型确定性分类:确定型年金、不确定型年金。每次的支付额分类:等额年金、变额年金。支付时点分类:期初付年金、期末付年金。支付期限分类:定期年金、永续年金。连续性年金:离散型年金、连续型年金。三、年金的现值与终值1、n年定期年金1)期末付年金①现值0123n1111vv2vn。上式可写成:期初投资1元,每年末可获得利息i,且第n年末可获得本金1元。②年金终值.01n-2n-1n11111+

2、i(1+i)2(1+i)n-1。每年末存入1元,第n年末可得③证明:2)期初付年金①现值012n-2n-1n11111vv2Vn-1。②终值。01n-2n-1n11111+i(1+i)2(1+i)n。③④期初付年金与期末付年金⑤其他例:王平从银行贷款20,000元,他想在今后的10年内等额还清贷款,贷款年利率为15%。求:1)每年末的还款额;2)每年初的还款额。解:2、延期m年的n年期年金1)期末付延期年金现值0mm+1m+n-1m+n111Vm+1vm+n-1Vm+n。或:终值或:2)期初付延期年金现值或:。终值或:例:3,000元的债务从第5年初开始,每年初偿还相同的

3、数额,共分15次还清,年利率为8%,求年还债额。 解:3、永续年金1)期末付年金现值2)期初付年金现值期初投资元,则每年可获得1元期初投资元,则每年可获得1元3)延期m年的永续年金4、其他时点上的年金过期年金的终值01----nn+1n+m1----1同理:.年金的当前值01----mn1----111同理:例:某投资项目,前3年每年初投资5万元,后3年每年末投资3万元,i=6%,试计算该项投资在10年末的终值解:前3年投资在10年末的终值为:后3年投资在第10年末的终值为:总的终值为:37.43万元5、连续年金现值例:某企业从银行获得一笔贷款,年利率为6%,假设企业每年

4、末向银行偿还20,000元,10年后还清,如果企业打算在5年内一次还清,试求一次还清的额度。解:李明今年30岁,他计划每年初存300元,共存30年建立个人养老金,这笔存款能使他从60岁退休开始每年初得到固定金额的养老金,共能取20年,假设存款利率在前30年为6%,后20年为12%,求每年得到的养老金额。解:例:某单位计划用10年时间每年初存入银行一笔固定的金额建立基金,用于10年末开始每年2,000元的永续奖励支出,i=12%,求每年需存入的金额。解:例:设某期初付年金共支付20年,其中:前6年的年金额为5元,中间9年的年金额为7元,后5年的年金额为10元,请写出年金现值

5、和终值的表达式。解:现值终值四、年金的利率、时间问题求解1、利率问题1)迭代法一2)Newton-Raphson迭代法1)迭代法一迭代公式步骤第一步:确定i0,求i1;A、i0可由线性插值法确定;B、泰勒级数前两项确定。第二步:由i1求i2,以此类推。可得i0、i1、i2----,直到it+1≈it为止。确定迭代公式:得:。得:缺点:收敛速度慢。即达到精确值的速度慢。2)Newton-Raphson迭代公式优点:速度快。推导N-R近似公式。。如果已知,则迭代公式其中:例、某人存入银行8,000元,然后每年末从银行支取1,000元,共取10年,求:i解法一:线性插值法。试算

6、得:f(0.040)=0.1109=f(i2)f(0.045)=-0.0873=f(i1)令:解二:迭代一:i(0)=0.045i(1)=0.0448583i(2)=0.0443989i(6)=0.0433879i(7)=0.0432567i(8)=0.0431539----i(42)=0.04277506i(43)=0.0427750i(44)=0.0427750由公式:解法三,N-R迭代法由N-R公式:得:i=0.0427752、时间问题1)解析式2)小额支付当n为非整数时,有小额支付问题。01k-1ksk+1111wn=k+ss<1最后一次支付额w<1W的计算W的提

7、前支付W在第k+1年初的现值。最后一次取款额为W的延时支付W在第k+1年末的终值。例:投资者将其20,000元存入某基金,希望在每年末领取1,000,i=4.5%,求:1)领取的时间及取款的次数;2)最后一次的取款额;3)最后一次取款额在当年的现值和终值。解:1)求n取款次数为53次2)设小额支付为w3)如果w在53年初支付,则其现值为:如果w在53年末支付,则其终值为:五、可变利率年金假设每年的实际利率分别为i1、i2、---in。1、期末付年金0i11i22n-2in-1n-1inn11111现值终值。2、期初付年金现值终

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